积分就是面积吗？

你能估计曲线下方的面积，再预测端点稍微移动时会增加多少面积吗？你需要了解矩形面积、乘方，以及用变化量之比描述变化率的方法。我们会在实验之后引入积分和导数符号。

从蓝色曲线 $f(x)=x^2$ 开始。想象一下将其下方的区域从 0 到可移动端点 $x$ 着色为绿色。当您将端点向右移动时，绿色区域会增大。称其面积为$A(x)$。

有两个量需要跟踪：曲线的高度，$f(x)$，以及到目前为止累积的面积，$A(x)$。

记录你的探究过程

在笔记中记录参照设置、预测和观察值。先固定曲线和端点，只改变矩形数量；随后固定曲线和端点，只改变新增细条的宽度。展开解释之前，用记录的数据说明你的观察结果。

用矩形拼出面积

将0到$x$的区间分成相等的部分。在每块上画一个矩形，其高度是曲线在左边缘的高度。每个矩形贡献：

$$\text{矩形面积}=\text{高度}\times\text{宽度}$$

固定 $f(t)=t^2$ 和 $x=3$，以 4 个按左端点高度绘制的矩形为参照。选择 16 个矩形 和 128 个矩形 之前，写下预测：估计值会上升还是下降？会高于还是低于实际面积？记录每种数量下的矩形面积之和与缺少的面积。

构建 x² 下的面积重置

蓝色：曲线高度绿色： 面积和矩形

端点x

3.0

04

4 个矩形16 个矩形64 个矩形128 个矩形

矩形和5.9064 左边缘矩形

精确面积 A(x)9.000

缺失区域3.094精确面积 - 矩形总和

把结果与 4 个矩形的参照情形比较。改变的是绿色区域本身，还是面积的估计值？展开对比之前，根据矩形边缘与曲线的位置解释误差的方向。

对照你的解释

由于 $x^2$ 在此区间上增加，因此这些左边缘矩形低估了面积。增加矩形数量会使它们更窄，并使总和更接近精确面积。

定积分表示曲线与横轴之间的有向面积。当曲线位于横轴上方时，它就是曲线下方区域的普通几何面积。

当宽度接近零时，积分是这些总和的极限：

$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}\qquad(x\geq 0)$$

下限 0 表示累积开始的位置。上限 $x$ 表示停止的位置。字母$t$是区间内的临时位置；使用它可以使该位置与端点 $x$ 分开。 $dt$ 表示我们针对 $t$ 进行积分。

在$x=3$：

$$A(3)=\frac{3^3}{3}=9$$

绿色区域的面积为 9 平方单位。此处曲线的高度也是 9，但数字匹配纯属巧合：在 $x=2$ 处，高度为 4，而面积为 $8/3$。

移动端点：增加一条细条

当我们从 $x$ 迁移到 $x+\Delta x$ 时会发生什么？我们在右侧添加一条细条。其具体面积为：

$$\Delta A=A(x+\Delta x)-A(x)$$

固定 $x=3$，以 $\Delta x=0.5$ 为参照。选择 Δx = 0.1 和 Δx = 0.001 之前，分别预测新增面积以及新增面积除以细条宽度的结果。两者都必须趋近于零吗？只改变宽度，每次记录这两个读数。

一条额外的区域重置

蓝色：曲线高度绿色： 累计面积橙色：添加条带

端点x

3.0

04

Δx = 0.5Δx = 0.1Δx = 0.01Δx = 0.001

条带水平放大；高度单独缩放。虚线矩形：估计 x² Δx。

增加面积ΔA5.291666667A(x + Δx) − A(x)

平均高度 ΔA / Δx10.583333在这个有限的带上

把观察结果与参照情形比较。细条变小了，它的平均高度与面积是否有相同的变化趋势？写下这个比值似乎趋近的数值，并用曲线高度解释原因。

对照你的解释

对于较小的正 $\Delta x$，条带上的高度几乎没有变化。将其视为矩形可得出：

$$\Delta A\approx f(x)\,\Delta x=x^2\,\Delta x$$

在 $x=3$ 和 $\Delta x=0.001$ 处，矩形估计为：

$$\Delta A\approx 9\times 0.001=0.009$$

精确的新增面积是 $0.009003000333\ldots$。比矩形估计值多出的少量面积，来自曲线在细条范围内的继续上升。

我们用 $\Delta x$ 和 $\Delta A$ 表示有限的变化量。导数符号 $dA/dx$ 表示水平变化量趋近于零时，变化率的极限。

为什么添加的面积除以宽度？

比率 $\Delta A/\Delta x$ 询问：每单位水平移动我们获得多少面积？

对于我们的窄矩形：

$$\frac{\Delta A}{\Delta x}\approx\frac{x^2\,\Delta x}{\Delta x}=x^2$$

将面积除以宽度得到高度。对于有限条带，该比率是该条带上的平均高度。当宽度接近零时，平均值接近端点处的曲线高度：

$$A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=x^2=f(x)$$

您还可以看到通过展开三次方，近似值变得精确：

$$\frac{(x+\Delta x)^3/3-x^3/3}{\Delta x} =x^2+x\,\Delta x+\frac{(\Delta x)^2}{3}$$

当 $\Delta x$ 接近零时，最后两项消失，留下 $x^2$。

微积分基本定理

同样的关系适用于任何连续函数 $f$：

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x)=f(x)$$

累积面积变化的速率等于原始曲线的高度。这是微积分基本定理的累积部分。

它还提供了计算定积分的实用方法。若$F'(x)=f(x)$，则：

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

对于 $f(x)=x^2$，反导数是 $F(x)=x^3/3$。这就是为什么从0到3的区域是$F(3)-F(0)=9$。

高度和坡度不同

此示例中有两种不同的导数：

所以$A'(3)=9$是面积函数$A$的斜率，它等于蓝色曲线$f$的高度。蓝色曲线本身的斜率是 $f'(3)=6$。

想象一下水流入水箱。如果 $f(t)$ 是以升/秒为单位的流速，那么 $\int_0^x f(t)\,dt$ 就是 $x$ 秒内添加的量（以升为单位）。对累积量进行微分即可恢复流量。

如果曲线低于轴怎么办？

由于限制是从左到右，水平轴以下的区域会产生负。例如：

$$\int_0^2 (t-1)\,dt=0$$

从 0 到 1 的负三角形抵消了从 1 到 2 的正三角形。它们的总几何面积为 1 平方单位，但它们的符号面积为 0。要测量总几何面积，请对函数的绝对值进行积分。

超越几何面积

积分不断累积变化的数量。对于概率密度为 $p$ 的连续随机变量：

$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(t)\,dt$$

这里，密度曲线下方的面积表示概率。期望值累积按其密度加权的每个可能值：

$$\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} t\,p(t)\,dt$$

该公式假设期望存在。概率和期望是机器学习中持续积累的相同想法的两种表现方式。

设计你自己的对比实验

在滑块范围内选择一个不同于 3 的正端点。预测 $\Delta A/\Delta x$ 应该趋近哪个数值。保持这个端点不变，自选两种细条宽度进行测试。记录新增面积和比值，解释哪些证据支持或反驳你的预测。

在另一个对比中，保持端点和矩形数量不变。在纸上把确定矩形高度的左端点改为右端点。预测估计值会偏高还是偏低，再用一个小规模计算或草图说明原因。最后把证据与你最初的预测进行比较。

检查你的推理

对于你选择的端点 $x$，比值为 $x^2+x\Delta x+(\Delta x)^2/3$。正宽度缩小时，比值趋近于 $x^2$，新增面积则趋近于零。对于正区间上的 $t^2$，右端点矩形高估面积，左端点矩形低估面积。函数递增说明了这种大小关系；少数数值试验本身不能证明极限。

检查你的理解情况

尝试五个有关面积、细带和变化率的问题。选择一个答案，然后使用 检查答案 查看推理。您可以重新审视一个问题并重试。

第 1 题，共 5 题已检查 0 题 · 答对 0 题

对于 f(x) = x²，当 x = 2 时，哪一组数分别是曲线高度和从 0 开始累积的面积？

高度 = 4；面积 = 8/3。高度 = 4；面积 = 4。高度 = 8/3；面积 = 4。

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