Чи є інтеграл площею?

Чи можете ви оцінити площу під кривою, а потім передбачити, скільки площі додасть невелике зміщення кінця інтервалу? Потрібні площа прямокутника, степені й поняття швидкості як відношення змін. Позначення інтеграла та похідної введемо після експериментів.

Почніть із синьої кривої $f(x)=x^2$. Уявіть, що область під ним пофарбована в зелений колір від 0 до рухомої кінцевої точки $x$. Коли ви пересуваєте кінцеву точку праворуч, зелена область збільшується. Назвіть його область $A(x)$.

Існує дві величини, які слід відстежувати: висота кривої, $f(x)$, і накопичена на даний момент площа, $A(x)$.

Записуйте перебіг дослідження

Записуйте початкові налаштування, прогноз і спостережувані значення. Спочатку змінюйте лише кількість прямокутників, зберігаючи криву та кінець інтервалу. Потім змінюйте лише ширину доданої смужки за незмінних кривої та кінця інтервалу. Перш ніж відкрити пояснення, опишіть результат на основі своїх записів.

Побудуйте площу з прямокутників

Розділіть інтервал від 0 до $x$ на рівні частини. На кожній частині намалюйте прямокутник, висота якого дорівнює висоті кривої на лівому краю. Кожен прямокутник сприяє:

$$\text{rectangle area}=\text{height}\times\text{width}$$

Зафіксуйте $f(t)=t^2$ і $x=3$. Початковий випадок — 4 прямокутники з висотами за лівими краями. Перш ніж вибрати 16 прямокутників і 128 прямокутників, запишіть, чи зросте оцінка та чи буде вона більшою або меншою за справжню площу. Для кожної кількості прямокутників запишіть суму площ і площу, якої бракує.

Побудуйте площу під x²Скинути

Синій: висота кривоїЗелений: площа і прямокутники

Кінцева точка x

3.0

04

4 прямокутники16 прямокутники64 прямокутники128 прямокутники

Прямокутна сума5.9064 прямокутники з лівого краю

Точна площа A(x)9.000

Відсутня область3.094точна площа − сума прямокутника

Порівняйте результати з початковими чотирма прямокутниками. Змінилася зелена область чи лише оцінка її площі? Поясніть напрямок похибки за краями прямокутників, перш ніж відкрити порівняння.

Порівняйте своє пояснення

Оскільки $x^2$ збільшується на цьому інтервалі, ці прямокутники з лівого краю занижують площу. Збільшення кількості прямокутників робить їх вужчими та наближає суму до точної площі.

Визначений інтеграл вимірює площу зі знаком між кривою та горизонтальною віссю. Якщо крива лежить вище осі, це звичайна площа під нею.

Інтеграл є межею цих сум, коли ширини наближаються до нуля:

$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}\qquad(x\geq 0)$$

Нижня межа, 0, вказує, де починається накопичення. Верхня межа, $x$, вказує, де вона закінчується. Буква $t$ - тимчасова позиція всередині інтервалу; його використання зберігає цю позицію окремо від кінцевої точки $x$. $dt$ вказує на те, що ми інтегруємося щодо $t$.

У $x=3$:

$$A(3)=\frac{3^3}{3}=9$$

Зелена територія 9 квадратних одиниць. Висота кривої тут також дорівнює 9, але цей цифровий збіг є збігом: у $x=2$ висота дорівнює 4, а площа — $8/3$.

Перемістити кінцеву точку: одна додаткова смужка

Що станеться, коли ми перейдемо від $x$ до $x+\Delta x$? Праворуч додаємо тонку смужку. Його точна площа:

$$\Delta A=A(x+\Delta x)-A(x)$$

Зафіксуйте $x=3$ і використайте $\Delta x=0.5$ як початковий випадок. Перед вибором Δx = 0.1 і Δx = 0.001 запишіть прогнози для доданої площі та її відношення до ширини смужки. Чи обидві величини мають прямувати до нуля? Змінюйте лише ширину та записуйте обидва показники.

Одна додаткова смуга площіСкинути

Синій: висота кривоїЗелений: накопичена площаПомаранчевий: додана смужка

Кінцева точка x

3.0

04

Δx = 0.5Δx = 0.1Δx = 0.01Δx = 0.001

Смуга, збільшена по горизонталі; висота масштабується окремо. Штриховий прямокутник: оцінка x² Δx.

Додана площа ΔA5.291666667A(x + Δx) − A(x)

Середня висота ΔA / Δx10.583333над цією кінцевою смужкою

Порівняйте спостереження з початковим випадком. Смужка зменшується: чи її середня висота поводиться так само, як площа? Запишіть, до якого числа, за вашими спостереженнями, наближається відношення, і поясніть це через висоту кривої.

Порівняйте своє пояснення

Для малого позитивного $\Delta x$ висота майже не змінюється по смузі. Розглядаючи його як прямокутник, ви отримаєте:

$$\Delta A\approx f(x)\,\Delta x=x^2\,\Delta x$$

При $x=3$ і $\Delta x=0.001$ оцінка прямокутника дорівнює:

$$\Delta A\approx 9\times 0.001=0.009$$

Точна додана область – $0.009003000333\ldots$. Невелика додаткова кількість походить від кривої, що піднімається по смузі.

Ми використовуємо $\Delta x$ і $\Delta A$ для цих кінцевих змін. Похідна нотація, $dA/dx$, називає граничну швидкість, коли горизонтальна зміна зменшується до нуля.

Навіщо ділити додану область на ширину?

Співвідношення $\Delta A/\Delta x$ запитує: скільки площі ми отримуємо на одиницю горизонтального руху?

Для нашого вузького прямокутника:

$$\frac{\Delta A}{\Delta x}\approx\frac{x^2\,\Delta x}{\Delta x}=x^2$$

Поділ області на її ширину залишає висоту. Для кінцевої смуги співвідношення є середньою висотою цієї смуги. Коли ширина наближається до нуля, це середнє наближається до висоти кривої в кінцевій точці:

$$A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=x^2=f(x)$$

Ви також можете побачити, як наближення стає точним, розгортаючи куби:

$$\frac{(x+\Delta x)^3/3-x^3/3}{\Delta x} =x^2+x\,\Delta x+\frac{(\Delta x)^2}{3}$$

Останні два члени зникають, коли $\Delta x$ наближається до нуля, залишаючи $x^2$.

Основна теорема математичного аналізу

Те саме співвідношення має місце для будь-якої неперервної функції $f$:

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x)=f(x)$$

Швидкість зміни накопиченої площі дорівнює висоті вихідної кривої. Це накопичувальна частина Основної теореми числення.

Це також дає практичний спосіб обчислення певних інтегралів. Якщо $F'(x)=f(x)$, то:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Для $f(x)=x^2$ першопохідною є $F(x)=x^3/3$. Тому область від 0 до 3 є $F(3)-F(0)=9$.

Висота й нахил — різні величини

У цьому прикладі є дві різні похідні:

Отже, $A'(3)=9$ — це нахил функції площі $A$, і він дорівнює висоті синьої кривої $f$. Нахил самої синьої кривої дорівнює $f'(3)=6$.

Подумайте про те, що вода тече в резервуар. Якщо $f(t)$ — швидкість потоку в літрах на секунду, то $\int_0^x f(t)\,dt$ — це кількість, додана протягом $x$ секунд, у літрах. Диференціація цієї накопиченої кількості відновлює швидкість потоку.

Що робити, якщо крива йде нижче осі?

З обмеженнями, що проходять зліва направо, регіони під горизонтальною віссю сприяють негативно. Наприклад:

$$\int_0^2 (t-1)\,dt=0$$

Від’ємний трикутник від 0 до 1 скасовує додатний трикутник від 1 до 2. Їх загальна геометрична площа дорівнює 1 квадратній одиниці, але площа зі знаком дорівнює 0. Щоб виміряти загальну геометричну площу, проінтегруйте абсолютне значення функції.

Не лише геометрична площа

Інтеграція накопичує безперервно змінні кількості. Для безперервної випадкової величини з щільністю ймовірності $p$:

$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(t)\,dt$$

Тут площа під кривою щільності представляє ймовірність. Очікуване значення накопичує кожне можливе значення, зважене за його щільністю:

$$\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} t\,p(t)\,dt$$

Ця формула припускає, що очікування існує. Вірогідність і очікування — це два способи появи цієї самої ідеї безперервного накопичення в машинному навчанні.

Сплануйте власне порівняння

Виберіть інший додатний кінець інтервалу в межах повзунка, відмінний від 3. Передбачте, до якого числа має прямувати $\Delta A/\Delta x$. Зберігайте цей кінець і перевірте дві ширини смужки на свій вибір. Запишіть додану площу й відношення, а потім поясніть, що підтверджує або спростовує прогноз.

В окремому порівнянні збережіть кінець інтервалу та кількість прямокутників. На папері замініть ліві краї правими для визначення висот. Передбачте, чи оцінка буде завищеною або заниженою; обґрунтуйте це невеликим обчисленням або рисунком. Зіставте докази з початковими прогнозами.

Перевірте міркування

За вибраного $x$ відношення дорівнює $x^2+x\Delta x+(\Delta x)^2/3$, тому зі зменшенням додатної ширини воно прямує до $x^2$, а додана площа — до нуля. Для $t^2$ на додатному інтервалі праві краї дають завищену оцінку, а ліві — занижену. Це пояснюється зростанням функції; кілька числових спроб не доводять границю.

Перевірте розуміння

Спробуйте п’ять запитань про площу, тонкі смужки та швидкість зміни. Виберіть відповідь, а потім використовуйте Перевірити відповідь, щоб переглянути міркування. Ви можете повернутися до запитання та спробувати ще раз.

Питання 1 з 50 перевірено · 0 правильно

Для f(x) = x², при x = 2, яка пара дає висоту кривої та площу, накопичену від 0?

Висота = 4; площа = 8/3.Висота = 4; площа = 4.Висота = 8/3; площа = 4.

Перевірити відповідь

Почніть спочатку

Продовжуйте навчання

Щоб дослідити похідні як нахили та побачити, як вони спрямовують навчання нейронної мережі, перейдіть до Похідна: нахил у точці.