Czy całka to pole powierzchni?

Czy potrafisz oszacować pole pod krzywą, a potem przewidzieć, ile pola doda niewielkie przesunięcie końca przedziału? Potrzebujesz pola prostokąta, potęgowania i pojęcia tempa jako ilorazu zmian. Notację całek i pochodnych wprowadzimy po eksperymentach.

Zacznij od niebieskiej krzywej $f(x)=x^2$. Zamaluj na zielono obszar pod nią, od 0 do ruchomego końca przedziału $x$. Gdy przesuwasz ten koniec w prawo, obszar rośnie. Jego pole oznaczmy przez $A(x)$.

Rozróżniamy dwie wielkości: wysokość krzywej, $f(x)$, oraz pole zgromadzone do tej pory, $A(x)$.

Zapisuj przebieg badania

W notatniku zapisuj ustawienia odniesienia, przewidywanie i zaobserwowane wartości. Najpierw utrzymuj krzywą i koniec przedziału bez zmian, zmieniając tylko liczbę prostokątów. Później zmieniaj tylko szerokość dodatkowego paska, przy stałej krzywej i końcu przedziału. Przed odczytaniem wyjaśnienia opisz wynik na podstawie zapisanych danych.

Zbuduj obszar z prostokątów

Podziel przedział od 0 do $x$ na równe części. Na każdej z nich zbuduj prostokąt, którego wysokość odpowiada wysokości krzywej na lewym końcu. Pole każdego prostokąta wynosi:

$$\text{pole prostokąta}=\text{wysokość}\times\text{szerokość}$$

Ustal $f(t)=t^2$ i $x=3$. Przypadek odniesienia to 4 prostokąty o wysokościach wyznaczonych na lewych końcach. Zanim wybierzesz Prostokąty: 16 i Prostokąty: 128, zapisz, czy oszacowanie wzrośnie, czy zmaleje oraz czy będzie za duże, czy za małe. Dla każdej liczby prostokątów zanotuj sumę ich pól i brakujące pole.

Zbuduj obszar pod x²Resetuj

Niebieski: wysokość krzywejZielony: obszar i prostokąty

Punkt końcowy x

3.0

04

Prostokąty: 4Prostokąty: 16Prostokąty: 64Prostokąty: 128

Suma prostokątna5.9064 prostokąty z lewej strony

Dokładny obszar A(x)9.000

Brakujący obszar3.094dokładne pole - suma prostokątów

Porównaj wyniki z przypadkiem czterech prostokątów. Czy zmienił się zielony obszar, czy tylko jego oszacowanie? Wyjaśnij kierunek błędu, patrząc na krawędzie prostokątów, zanim rozwiniesz porównanie.

Porównaj swoje wyjaśnienie

Ponieważ $x^2$ wzrasta w tym przedziale, te prostokąty po lewej stronie powodują niedoszacowanie obszaru. Zwiększenie liczby prostokątów zawęża je i przybliża sumę do dokładnego obszaru.

Całka oznaczona mierzy pole ze znakiem między krzywą a osią poziomą. Dla krzywej leżącej nad osią jest to zwykłe pole obszaru pod nią.

Całka jest granicą tych sum, gdy szerokości zbliżają się do zera:

$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}\qquad(x\geq 0)$$

Dolna granica, 0, mówi, gdzie zaczyna się akumulacja. Górna granica, $x$, mówi, gdzie się kończy. Litera $t$ oznacza tymczasową pozycję wewnątrz przedziału; użycie go powoduje oddzielenie tej pozycji od punktu końcowego $x$. $dt$ wskazuje, że integrujemy w odniesieniu do $t$.

W $x=3$:

$$A(3)=\frac{3^3}{3}=9$$

Pole zielonego obszaru wynosi 9 jednostek kwadratowych. Wysokość krzywej też wynosi tu 9, ale to zbieg okoliczności: dla $x=2$ wysokość wynosi 4, a pole $8/3$.

Przesuń punkt końcowy: jeden dodatkowy pasek

Co się stanie, gdy przejdziemy z $x$ na $x+\Delta x$? Dodajemy cienki pasek po prawej stronie. Jego dokładne pole wynosi:

$$\Delta A=A(x+\Delta x)-A(x)$$

Pozostaw $x=3$ i przyjmij $\Delta x=0.5$ jako przypadek odniesienia. Przed wybraniem Δx = 0.1 i Δx = 0.001 zapisz przewidywania dla dodanego pola oraz pola podzielonego przez szerokość paska. Czy obie wielkości muszą dążyć do zera? Zmieniaj tylko szerokość i zapisuj oba odczyty.

Jeden dodatkowy pasek obszaruResetuj

Niebieski: wysokość krzywejZielony: zgromadzony obszarPomarańczowy: dodano pasek

Punkt końcowy x

3.0

04

Δx = 0.5Δx = 0.1Δx = 0.01Δx = 0.001

Pasek powiększony poziomo; wysokość skalowana oddzielnie. Przerywany prostokąt: oszacowanie x² Δx.

Dodano obszar ΔA5.291666667A(x + Δx) − A(x)

Średnia wysokość ΔA / Δx10.583333nad tym skończonym pasem

Porównaj obserwacje z przypadkiem odniesienia. Pasek maleje: czy jego średnia wysokość zachowuje się tak samo jak pole? Zapisz, do jakiej liczby wydaje się dążyć iloraz, i wyjaśnij to za pomocą wysokości krzywej.

Porównaj swoje wyjaśnienie

W przypadku małego pozytywnego $\Delta x$ wysokość prawie nie zmienia się w poprzek paska. Traktowanie go jako prostokąta daje:

$$\Delta A\approx f(x)\,\Delta x=x^2\,\Delta x$$

W przypadku $x=3$ i $\Delta x=0.001$ oszacowanie prostokąta wynosi:

$$\Delta A\approx 9\times 0.001=0.009$$

Dokładny dodany obszar to $0.009003000333\ldots$. Niewielka dodatkowa kwota pochodzi z krzywej wznoszącej się w poprzek paska.

Do tych skończonych zmian używamy $\Delta x$ i $\Delta A$. Notacja pochodna, $dA/dx$, określa szybkość graniczną, gdy zmiana pozioma zmniejsza się do zera.

Po co dzielić dodany obszar przez szerokość?

Współczynnik $\Delta A/\Delta x$ pyta: ile powierzchni zyskujemy na jednostkę ruchu poziomego?

Dla naszego wąskiego prostokąta:

$$\frac{\Delta A}{\Delta x}\approx\frac{x^2\,\Delta x}{\Delta x}=x^2$$

Dzielenie obszaru przez jego szerokość pozostawia wysokość. W przypadku skończonego paska stosunek stanowi średnia wysokość na tym pasku. Gdy szerokość zbliża się do zera, średnia zbliża się do wysokości krzywej w punkcie końcowym:

$$A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=x^2=f(x)$$

Możesz także zobaczyć, że przybliżenie staje się dokładne poprzez rozwinięcie sześcianów:

$$\frac{(x+\Delta x)^3/3-x^3/3}{\Delta x} =x^2+x\,\Delta x+\frac{(\Delta x)^2}{3}$$

Ostatnie dwa wyrazy znikają, gdy $\Delta x$ zbliża się do zera, pozostawiając $x^2$.

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego

Ta sama zależność obowiązuje dla dowolnej funkcji ciągłej $f$:

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x)=f(x)$$

Tempo, z jakim zmienia się skumulowany obszar, jest równe wysokości pierwotnej krzywej. Jest to część Podstawowego Twierdzenia rachunku różniczkowego dotycząca akumulacji.

Daje także praktyczny sposób obliczania całek oznaczonych. Jeśli $F'(x)=f(x)$, to:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Dla $f(x)=x^2$ funkcją pierwotną jest $F(x)=x^3/3$. Dlatego obszar od 0 do 3 to $F(3)-F(0)=9$.

Wysokość i nachylenie są różne

W tym przykładzie istnieją dwie różne pochodne:

Zatem $A'(3)=9$ jest nachyleniem funkcji powierzchni $A$ i jest równe wysokości niebieskiej krzywej $f$. Nachylenie samej niebieskiej krzywej wynosi $f'(3)=6$.

Wyobraź sobie wodę wpływającą do zbiornika. Jeżeli $f(t)$ jest natężeniem przepływu w litrach na sekundę, wówczas $\int_0^x f(t)\,dt$ jest ilością dodaną w litrach w ciągu $x$ sekund. Zróżniczkowanie tej skumulowanej ilości przywraca natężenie przepływu.

Co się stanie, jeśli krzywa spadnie poniżej osi?

Przy granicach biegnących od lewej do prawej, regiony poniżej osi poziomej mają wpływ ujemny. Na przykład:

$$\int_0^2 (t-1)\,dt=0$$

Trójkąt ujemny od 0 do 1 anuluje trójkąt dodatni od 1 do 2. Ich całkowite pole geometryczne wynosi 1 jednostkę kwadratową, ale ich powierzchnia ze znakiem wynosi 0. Aby zmierzyć całkowite pole geometryczne, całkuj wartość bezwzględną funkcji.

Poza obszarem geometrycznym

Integracja gromadzi stale zmieniające się ilości. Dla ciągłej zmiennej losowej o gęstości prawdopodobieństwa $p$:

$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(t)\,dt$$

Tutaj obszar pod krzywą gęstości reprezentuje prawdopodobieństwo. Wartość oczekiwana kumuluje każdą możliwą wartość ważoną jej gęstością:

$$\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} t\,p(t)\,dt$$

W tej formule zakłada się, że oczekiwanie istnieje. Prawdopodobieństwo i oczekiwania to dwa sposoby, w jakie ta sama koncepcja ciągłej akumulacji pojawia się w uczeniu maszynowym.

Zaprojektuj własne porównanie

Wybierz inny dodatni koniec przedziału w zakresie suwaka, różny od 3. Przewidź, do jakiej liczby powinien dążyć iloraz $\Delta A/\Delta x$. Utrzymuj ten koniec bez zmian i sprawdź dwie wybrane szerokości paska. Zapisz dodane pole oraz iloraz i wyjaśnij, co potwierdza lub podważa twoje przewidywanie.

W osobnym porównaniu zachowaj koniec przedziału i liczbę prostokątów. Na papierze zastąp lewe końce prawymi przy wyznaczaniu wysokości. Przewidź, czy oszacowanie będzie za duże, czy za małe; uzasadnij to obliczeniem małego przykładu lub rysunkiem. Porównaj dowody z początkowymi przewidywaniami.

Sprawdź rozumowanie

Dla wybranego $x$ iloraz wynosi $x^2+x\Delta x+(\Delta x)^2/3$, więc przy malejącej dodatniej szerokości dąży do $x^2$, choć dodane pole dąży do zera. Dla $t^2$ na dodatnim przedziale prawe końce dają zawyżenie, a lewe — zaniżenie pola. Uzasadnia to wzrost funkcji; kilka prób liczbowych nie stanowi dowodu granicy.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wypróbuj pięć pytań dotyczących powierzchni, cienkich pasków i tempa zmian. Wybierz odpowiedź, a następnie użyj Sprawdź odpowiedź, aby zobaczyć uzasadnienie. Możesz wrócić do pytania i spróbować jeszcze raz.

Pytanie 1 z 5Sprawdzono: 0 · Poprawne: 0

Dla f(x) = x² i x = 2, która para podaje wysokość krzywej i pole zgromadzone od 0?

Wysokość = 4; pole = 8/3.Wysokość = 4; pole = 4.Wysokość = 8/3; pole = 4.

Sprawdź odpowiedź

Zacznij od nowa

Ucz się dalej

Aby zbadać pochodne jako nachylenia i zobaczyć, jak wpływają na uczenie sieci neuronowej, przejdź do Pochodna: nachylenie w punkcie.