Как скалярное произведение связано с проекцией?

Для этого урока нужны координаты векторов, длины и углы. Формулы мы введём после двух экспериментов.

Представьте синюю стрелку a над горизонтальной прямой. Опустите перпендикуляр от её конца на прямую. Зелёная стрелка от начала координат до точки пересечения — её «тень». Оранжевая стрелка b направлена вправо вдоль той же прямой.

Исследовательский виджет также показывает число — скалярное произведение. Сможете выяснить, как оно связано с тенью?

Записывайте ход исследования

Ведите записи: настройки, прогноз, наблюдаемая длина тени со знаком, скалярное произведение и вектор проекции. Первый исходный случай — угол 0° и длины 10 и 1. В первом эксперименте меняйте только угол. Во втором зафиксируйте $\mathbf a=(3,4)$ и направление $\mathbf b$, меняя только его длину. Прежде чем открыть объяснение, сравните результат с исходным случаем и запишите, подтверждает ли он ваш прогноз.

Первый эксперимент: поворачивайте, не растягивая

Сохраняйте длину a равной 10, а длину b равной 1. Прежде чем использовать кнопки, предскажите:

• Какой будет длина тени при 0°?
• Может ли тень исчезнуть при 90°, хотя у стрелки по-прежнему есть длина?
• Куда будет направлена тень при 180°? Каким знаком можно передать это направление?

Теперь выберите 0°, 90° и 180°. Затем попробуйте 60°. Сравните тень с двумя числовыми показаниями.

Поворот а. Наблюдайте за его тенью.Сбросить

Синий: вектор аЗеленый: проекцияОранжевый: вектор b

b указывает вправо и для удобства рисуется под линией. Оба вектора используют один и тот же масштаб.

Угол θ

20°

0°90°180°

Длина a

10

Длина b

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

Проекция с учётом знака9.40

Скалярное произведение9.40

Вектор проекции(9.40, 0)на горизонтальной линии

Что изменилось, хотя длина стрелки оставалась постоянной? Объясните смысл знака, прежде чем раскрыть сравнение.

Сравните свои наблюдения

Длина тени с учётом знака равна 10 при 0°, 0 при 90° и −10 при 180°. Минус означает направление, противоположное b, а не отрицательную геометрическую длину. При 60° получается 5. Когда длина b равна 1, скалярное произведение во всех случаях совпадает с этим числом со знаком.

Тень лежит на всей прямой вдоль b. Она может выходить за конец b или быть направлена в обратную сторону.

Второй эксперимент: может ли число измениться, если тень неподвижна?

В том же виджете выберите a = (3, 4). Это задаст b равным $(1,0)$. Запишите длину тени со знаком, скалярное произведение и вектор проекции.

Прежде чем изменить Длина b с 1 на 2, предскажите, какие из этих трёх величин изменятся. Оставьте a неизменным, удлините b и сравните результаты.

Теперь предскажите результаты для длины 3 и проверьте их. Какое правило объясняет оба эксперимента?

Сравните своё правило

Вектор тени остаётся равным $(3,0)$, а её длина со знаком — 3. Скалярное произведение принимает значения 3, 6 и 9, когда длина b меняется с 1 на 2 и 3. Направление b определяет, куда падает тень; длина b масштабирует скалярное произведение.

Назовите величины и объясните закономерность

Стрелка тени — это векторная проекция. Её длина со знаком вдоль b — скалярная проекция, которую обозначим $p$.

При остром угле $\theta$ стрелка, тень и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому $p/\|\mathbf a\|=\cos\theta$. Версия со знаком распространяется и на углы от 90° до 180°:

$$p=\|\mathbf a\|\cos\theta.$$

Скалярное произведение можно вычислить по координатам. В двух измерениях:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y.$$

Во втором эксперименте $(3,4)\cdot(1,0)=3$, а $(3,4)\cdot(2,0)=6$. Горизонтальное направление осталось прежним, но коэффициент при 3 удвоился.

В общем случае скалярное произведение удовлетворяет равенству:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta=p\|\mathbf b\|.$$

Это объясняет закономерность: скалярное произведение равно длине проекции со знаком, умноженной на $\|\mathbf b\|$. Единичный вектор имеет длину 1, поэтому для него скалярное произведение равно $p$. Формула с углом предполагает ненулевые векторы; формула через координаты работает и для нулевого вектора.

Три связанные величины

Для ненулевого опорного вектора b:

Если b — нулевой вектор, скалярное произведение равно нулю, но проекция на его направление не определена: у него нет направления для проецирования.

Новый случай: разверните опорную стрелку

Решите на бумаге: оставьте $\mathbf a=(3,4)$ и измените $\mathbf b$ с $(2,0)$ на $(-2,0)$. До вычислений предскажите скалярное произведение, скалярную проекцию и векторную проекцию. Меняет ли разворот стрелки прямую, на которой она лежит?

Проверьте своё рассуждение

Скалярное произведение равно $3(-2)+4(0)=-6$. Деление на $\|\mathbf b\|=2$ даёт скалярную проекцию $-3$. Векторная проекция равна

$$\frac{-6}{4}(-2,0)=(3,0).$$

Прямая и вектор тени остаются прежними. Знаковые величины меняют знак, потому что опорное направление разворачивается.

Координаты тоже являются проекциями

Горизонтальная координата $(3,4)$ равна 3, потому что ее скалярное произведение с горизонтальным единичным вектором $(1,0)$ равно 3. Его вертикальная координата равна 4, потому что ее скалярное произведение с $(0,1)$ равно 4.

В более общем смысле, в ортонормированном базисе (перпендикулярные единичные векторы) каждая координата представляет собой скалярное произведение:

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

Выбор другого ортонормированного базиса означает измерение одного и того же вектора в разных направлениях. Это геометрия шагов проецирования в PCA и SVD.

Почему это важно для нейрона

Взвешенная сумма нейрона $\mathbf w\cdot\mathbf x$ измеряет знаковую проекцию входного сигнала x на направление веса w, масштабируемую $\|\mathbf w\|$. Смещение меняет этот результат, а функция активации трансформирует его.

Для входных данных одинаковой длины более сильное выравнивание по w дает большую взвешенную сумму. Это геометрический смысл, в котором нейрон может определять направление в своем входном пространстве.

Вывод: угол определяет, какая часть одного вектора падает в другом направлении. Скалярное произведение измеряет эту величину, масштабированную по длине опорного вектора.

Придумайте собственное сравнение

Выберите угол, которого не было в примерах; оба вектора должны быть ненулевыми. Запишите настройки и три показания. Предложите изменение длины $\mathbf b$, которое изменит скалярное произведение, но сохранит вектор тени. Запишите прогноз, оставьте $\mathbf a$ и направление $\mathbf b$ неизменными, затем проверьте свою идею.

Отдельно повторите сравнение при 90°. Меняет ли длина $\mathbf b$ скалярное произведение в этом случае? Уточните своё правило с учётом этого случая. Запишите, что вы предсказали, что наблюдали и как результаты повлияли на объяснение.

Проверьте рассуждение

При фиксированном направлении $\mathbf b$ изменение его положительной длины не влияет ни на скалярную, ни на векторную проекцию. Скалярное произведение масштабируется вместе с длиной, но при нулевой длине тени оно остаётся нулевым. Приведите настройки и показания; отличайте наблюдение от формулы, объясняющей общее правило.

Проверьте свое понимание

Попробуйте ответить на пять вопросов об углах, масштабировании и том, что измеряет проекция. Выберите ответ, затем используйте Проверить ответ, чтобы просмотреть обоснование. Вы можете вернуться к вопросу и повторить попытку.

Вопрос 1 из 5Проверено: 0 · Верно: 0

Вектор a имеет длину 10 и образует угол 60° с единичным вектором b. Чему равно a · b?

1050

Проверить ответ

Начать сначала

Продолжайте учиться

Чтобы увидеть, как матрица использует скалярные произведения для создания каждой выходной координаты, перейдите к разделу Скалярные произведения: построение выходных данных по одной строке за раз.