Dlaczego iloczyn skalarny wiąże się z rzutowaniem?

W tej lekcji potrzebujesz współrzędnych wektorów, długości i kątów. Wzory wprowadzimy po dwóch eksperymentach.

Wyobraź sobie niebieską strzałkę a nad poziomą prostą. Z jej końca opuść prostopadłą na tę prostą. Zielona strzałka od początku układu do punktu przecięcia jest jej „cieniem”. Pomarańczowa strzałka b wskazuje w prawo, wzdłuż tej samej prostej.

Eksplorator pokazuje też liczbę nazywaną iloczynem skalarnym. Czy potrafisz odkryć, jak wiąże się ona z cieniem?

Zapisuj przebieg badania

Prowadź notatki: ustawienia, przewidywanie, zaobserwowana długość cienia ze znakiem, iloczyn skalarny i wektor rzutu. Pierwszy przypadek odniesienia to kąt 0° i długości 10 oraz 1. W pierwszym eksperymencie zmieniaj tylko kąt. W drugim ustal $\mathbf a=(3,4)$ i kierunek $\mathbf b$, a zmieniaj tylko jego długość. Przed odczytaniem wyjaśnienia porównaj wynik z przypadkiem odniesienia i zapisz, czy potwierdza twoje przewidywanie.

Pierwszy eksperyment: obracaj bez rozciągania

Utrzymuj długość a równą 10, a długość b równą 1. Zanim użyjesz przycisków, przewidź:

• Jak długi będzie cień przy kącie 0°?
• Czy przy 90° cień może zniknąć, choć strzałka nadal ma długość?
• W którą stronę będzie skierowany cień przy 180°? Jaki znak pozwoli zapisać ten kierunek?

Teraz wybierz 0°, 90° i 180°. Następnie sprawdź 60°. Porównaj cień z oboma odczytami liczbowymi.

Obróć A. Obserwuj jego cień.Resetuj

Niebieski: wektor aZielony: projekcjaPomarańczowy: wektor b

b wskazuje w prawo i jest narysowane poniżej linii, aby było widoczne. Obydwa wektory używają tej samej skali.

Kąt θ

20°

0°90°180°

Długość a

10

Długość b

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

Rzut ze znakiem9.40

Iloczyn skalarny9.40

Wektor rzutu(9.40, 0)na linii poziomej

Co się zmieniło, mimo że długość strzałki pozostała stała? Wyjaśnij znaczenie znaku, zanim rozwiniesz porównanie.

Porównaj swoje obserwacje

Długość cienia ze znakiem wynosi 10 przy 0°, 0 przy 90° i −10 przy 180°. Minus oznacza kierunek przeciwny do b, a nie ujemną długość geometryczną. Przy 60° otrzymujemy 5. Gdy b ma długość 1, iloczyn skalarny w każdym przypadku jest równy tej liczbie ze znakiem.

Cień leży na całej prostej wyznaczonej przez b. Może sięgać poza koniec b albo wskazywać przeciwny kierunek.

Drugi eksperyment: czy liczba może się zmienić, gdy cień się nie porusza?

W tym samym eksploratorze wybierz a = (3, 4). Ustawi to b na $(1,0)$. Zapisz długość cienia ze znakiem, iloczyn skalarny i wektor rzutu.

Zanim zmienisz Długość b z 1 na 2, przewidź, które z tych trzech wielkości się zmienią. Pozostaw a bez zmian, wydłuż b i porównaj wyniki.

Teraz przewidź wyniki dla długości 3 i sprawdź je. Jaka reguła wyjaśnia oba eksperymenty?

Porównaj swoją regułę

Wektor cienia pozostaje równy $(3,0)$, a jego długość ze znakiem wynosi 3. Iloczyn skalarny przyjmuje wartości 3, 6 i 9, gdy długość b zmienia się z 1 na 2 i 3. Kierunek b określa, gdzie pada cień; długość b skaluje iloczyn skalarny.

Nazwij wielkości i wyjaśnij zależność

Strzałka cienia to rzut wektorowy. Jej długość ze znakiem wzdłuż b to rzut skalarny, który oznaczymy przez $p$.

Dla ostrego kąta $\theta$ strzałka, cień i prostopadła tworzą trójkąt prostokątny. Cosinus to iloraz przyprostokątnej przyległej i przeciwprostokątnej, więc $p/\|\mathbf a\|=\cos\theta$. Wersja ze znakiem obejmuje także kąty od 90° do 180°:

$$p=\|\mathbf a\|\cos\theta.$$

Iloczyn skalarny można obliczyć ze współrzędnych. W dwóch wymiarach:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y.$$

W drugim eksperymencie $(3,4)\cdot(1,0)=3$, a $(3,4)\cdot(2,0)=6$. Kierunek poziomy pozostał ten sam, lecz współczynnik mnożący 3 podwoił się.

Ogólnie iloczyn skalarny spełnia zależność:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta=p\|\mathbf b\|.$$

To wyjaśnia zaobserwowaną regułę: iloczyn skalarny jest długością rzutu ze znakiem pomnożoną przez $\|\mathbf b\|$. Wektor jednostkowy ma długość 1, więc dla niego iloczyn skalarny jest równy $p$. Wzór z kątem zakłada niezerowe wektory; wzór współrzędnych działa również dla wektora zerowego.

Trzy powiązane wielkości

Dla niezerowego wektora odniesienia b:

Jeśli b jest wektorem zerowym, iloczyn skalarny wynosi zero, ale rzutowanie na jego kierunek jest nieokreślone: nie ma kierunku, na który można rzutować.

Nowy przypadek: odwróć wektor odniesienia

Rozwiąż na papierze: pozostaw $\mathbf a=(3,4)$ i zmień $\mathbf b$ z $(2,0)$ na $(-2,0)$. Zanim zaczniesz liczyć, przewidź iloczyn skalarny, rzut skalarny i rzut wektorowy. Czy odwrócenie strzałki zmienia prostą, na której leży?

Sprawdź swoje rozumowanie

Iloczyn skalarny wynosi $3(-2)+4(0)=-6$. Dzielenie przez $\|\mathbf b\|=2$ daje rzut skalarny $-3$. Rzut wektorowy wynosi

$$\frac{-6}{4}(-2,0)=(3,0).$$

Prosta i wektor cienia pozostają te same. Wielkości ze znakiem zmieniają znak, ponieważ kierunek odniesienia zostaje odwrócony.

Współrzędne też są rzutami

Współrzędna pozioma $(3,4)$ wynosi 3, ponieważ jej iloczyn skalarny z poziomym wektorem jednostkowym $(1,0)$ wynosi 3. Jego współrzędna pionowa wynosi 4, ponieważ jego iloczyn skalarny z $(0,1)$ wynosi 4.

Mówiąc bardziej ogólnie, w bazie ortonormalnej (prostopadłe wektory jednostkowe) każda współrzędna jest iloczynem skalarnym:

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

Wybór innej bazy ortonormalnej oznacza pomiar tego samego wektora w różnych kierunkach. To jest geometria kroków projekcji w PCA i SVD.

Dlaczego ma to znaczenie dla neuronu

Suma ważona neuronu $\mathbf w\cdot\mathbf x$ mierzy rzutowanie sygnału wejściowego x ze znakiem na kierunek wagi w, skalowany przez $\|\mathbf w\|$. Odchylenie zmienia ten wynik, a funkcja aktywacji przekształca go.

W przypadku danych wejściowych o tej samej długości silniejsze wyrównanie z w daje większą sumę ważoną. To jest geometryczny sens, w jakim neuron może wykryć kierunek w swojej przestrzeni wejściowej.

Na wynos: kąt kontroluje, jaka część wektora opada w innym kierunku. Iloczyn skalarny mierzy tę wielkość, skalowaną według długości wektora odniesienia.

Zaprojektuj własne porównanie

Wybierz kąt inny niż w przykładach; oba wektory muszą być niezerowe. Zapisz ustawienia i trzy odczyty. Zaproponuj zmianę długości $\mathbf b$, która zmieni iloczyn skalarny, ale zachowa wektor cienia. Zapisz przewidywanie, pozostaw $\mathbf a$ i kierunek $\mathbf b$ bez zmian, a następnie sprawdź pomysł.

Powtórz porównanie dla kąta 90°. Czy zmiana długości $\mathbf b$ nadal zmienia iloczyn skalarny? Uzupełnij swoją regułę o ten przypadek. Zapisz, co przewidywałeś, co zaobserwowałeś i jak wyniki wpłynęły na twoje wyjaśnienie.

Sprawdź rozumowanie

Przy stałym kierunku $\mathbf b$ zmiana jego dodatniej długości nie wpływa na żaden z rzutów. Iloczyn skalarny skaluje się wraz z długością, ale jeśli cień ma długość zero, iloczyn pozostaje zerowy. Podaj ustawienia i odczyty; odróżnij obserwację od wzoru wyjaśniającego ogólną regułę.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wypróbuj pięć pytań na temat kątów, skalowania i tego, co mierzy rzutowanie. Wybierz odpowiedź, a następnie użyj Sprawdź odpowiedź, aby zobaczyć uzasadnienie. Możesz wrócić do pytania i spróbować jeszcze raz.

Pytanie 1 z 5Sprawdzono: 0 · Poprawne: 0

Wektor a ma długość 10 i tworzy kąt 60° z wektorem jednostkowym b. Ile wynosi a · b?

1050

Sprawdź odpowiedź

Zacznij od nowa

Ucz się dalej

Aby zobaczyć, jak macierz wykorzystuje iloczyny skalarne do wygenerowania każdej współrzędnej wyjściowej, przejdź do Iloczyny skalarne: tworzenie wyniku po jednym wierszu na raz.