点积为什么与投影有关？

学习本课需要了解向量的坐标、长度和夹角。我们会在完成两个实验后再引入公式。

想象一支位于水平直线上方的蓝色箭头 a。从它的尖端向这条直线作垂线。从原点指向垂足的绿色箭头，就是它的“影子”。橙色箭头 b 沿同一条直线向右。

探索器还显示一个叫作点积的数。你能发现这个数与影子之间的关系吗？

记录你的探究过程

用笔记记录设置、预测、观察到的带符号影长、点积和投影向量。第一个参照情形是角度 0°，两个向量的长度分别为 10 和 1。第一个实验只改变角度；第二个实验固定 $\mathbf a=(3,4)$ 和 $\mathbf b$ 的方向，只改变 $\mathbf b$ 的长度。展开解释之前，把结果与参照情形比较，写下证据是否支持你的预测。

第一个实验：只旋转，不拉长

保持 a 的长度为 10，b 的长度为 1。操作之前，先预测：

• 夹角为 0° 时，影子应该有多长？
• 夹角为 90° 时，箭头还有长度，影子却能消失吗？
• 夹角为 180° 时，影子朝哪个方向？用什么符号能记录这个方向？

现在依次选择 0°、90° 和 180°，然后试试 60°。比较影子和两个数值读数。

旋转 a.观察它的影子。重置

蓝色：矢量 a绿色：投影橙色：矢量 b

b 指向右侧，并绘制在线下方以提高可见性。两个向量使用相同的尺度。

角度θ

20°

0°90°180°

a 的长度

10

b 的长度

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

带符号的投影长度9.40

点积9.40

投影向量(9.40, 0)在水平线上

箭头的长度没变，什么发生了变化？先解释正负号的含义，再展开下面的对照。

对照你的观察

影子的带符号长度在 0° 时为 10，在 90° 时为 0，在 180° 时为 −10。负号表示方向与 b 相反，并不表示几何长度为负。60° 时的值为 5。当 b 的长度为 1 时，点积在每种情况下都等于这个带符号的数。

影子落在 b 所在的整条直线上。它可以超过 b 的尖端，也可以指向反方向。

第二个实验：影子不动，数值能变吗？

在同一个探索器中选择 a = (3, 4)。这会将 b 设为 $(1,0)$。记录影子的带符号长度、点积以及投影向量。

在把 b 的长度 从 1 改为 2 之前，先预测这三个量中哪些会改变。保持 a 不变，拉长 b，再比较结果。

接着预测长度为 3 时的结果，再检验一次。什么规律能解释这两个实验？

对照你发现的规律

影子向量始终是 $(3,0)$，带符号长度始终为 3。当 b 的长度从 1 变为 2、3 时，点积依次为 3、6、9。b 的方向决定影子落在哪里；b 的长度则缩放点积。

给这些量命名，并解释规律

影子箭头就是向量投影。它沿 b 方向的带符号长度称为标量投影，记作 $p$。

当夹角 $\theta$ 为锐角时，箭头、影子和垂线组成一个直角三角形。余弦等于邻边除以斜边，所以 $p/\|\mathbf a\|=\cos\theta$。采用带符号的形式后，这一关系可以延伸到 90° 至 180°：

$$p=\|\mathbf a\|\cos\theta.$$

点积可以通过坐标计算。在二维中：

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y.$$

在第二个实验中，$(3,4)\cdot(1,0)=3$，而 $(3,4)\cdot(2,0)=6$。水平方向没有改变，但乘在 3 上的系数翻了一倍。

一般来说，点积满足以下夹角关系：

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta=p\|\mathbf b\|.$$

这解释了刚才的规律：点积等于带符号的投影长度乘以 $\|\mathbf b\|$。单位向量的长度为 1，因此使用单位向量时，点积等于 $p$。夹角公式要求两个向量都非零；坐标公式对零向量也适用。

三个相关量

对于非零参考向量 b：

如果 b 是零向量，则点积为零，但其方向上的投影未定义：它没有可投影的方向。

新情况：反转参考箭头

在纸上完成这个例子：保持 $\mathbf a=(3,4)$ 不变，把 $\mathbf b$ 从 $(2,0)$ 改为 $(-2,0)$。计算前先预测点积、标量投影和向量投影。反转箭头，会改变它所在的直线吗？

检查你的推理

点积为 $3(-2)+4(0)=-6$。除以 $\|\mathbf b\|=2$，得到标量投影 $-3$。向量投影为

$$\frac{-6}{4}(-2,0)=(3,0).$$

直线和影子向量都没有改变。带符号的量改变符号，是因为参考方向反转了。

坐标也是投影

$(3,4)$ 的横坐标为 3，因为它与水平单位向量 $(1,0)$ 的点积为 3。它的纵坐标为 4，因为它与 $(0,1)$ 的点积为 4。

更一般地，在标准正交基（垂直单位向量）中，每个坐标都是点积：

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

选择不同的正交基意味着沿不同方向测量相同的向量。这是 PCA 和 SVD 中投影步骤背后的几何结构。

为什么这对神经元很重要

神经元的加权和 $\mathbf w\cdot\mathbf x$ 测量输入 x 在权重方向 w 上的有符号投影，按 $\|\mathbf w\|$ 缩放。偏置会平移结果，激活函数再对其进行变换。

对于相同长度的输入，与 w 的更强对齐会产生更大的加权和。这就是神经元可以检测其输入空间中的方向的几何意义。

要点： 角度控制一个向量沿另一个方向落下的程度。点积测量该量，并按参考向量的长度缩放。

设计你自己的对比实验

选择一个例子中没有用过的角度，并保持两个向量都非零。记录设置和三个读数。提出一种改变 $\mathbf b$ 长度的方法，使点积改变而影子向量不变。先写下预测，保持 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ 的方向不变，再测试你的想法。

另外在 90° 时重复这个对比。改变 $\mathbf b$ 的长度，还会改变点积吗？修改你的结论，使它包含这个边界情形。写下你的预测、观察结果，以及证据如何支持或改变你的解释。

检查你的推理

固定 $\mathbf b$ 的方向时，改变它的正长度不会影响标量投影或向量投影。点积随长度成比例变化，但影长为零时，点积始终为零。用设置和读数支持你的解释，并区分实验观察与说明一般规律的公式。

检查你的理解情况

尝试五个有关角度、比例和投影测量内容的问题。选择一个答案，然后使用 检查答案 查看推理。您可以重新审视一个问题并重试。

第 1 题，共 5 题已检查 0 题 · 答对 0 题

向量 a 的长度为 10，与单位向量 b 的夹角为 60°。a · b 等于多少？

1050

检查答案

重新开始

继续学习

要了解矩阵如何使用点积来生成每个输出坐标，请继续点积：一次构建一行输出。