Чому скалярний добуток пов’язаний із проєкцією?

Для цього уроку потрібні координати векторів, довжини та кути. Формули введемо після двох експериментів.

Уявіть синю стрілку a над горизонтальною прямою. Опустіть перпендикуляр від її кінця на пряму. Зелена стрілка від початку координат до точки перетину — її «тінь». Помаранчева стрілка b спрямована праворуч уздовж тієї самої прямої.

Інтерактивна модель також показує число — скалярний добуток. Чи зможете з’ясувати, як воно пов’язане з тінню?

Записуйте перебіг дослідження

Ведіть записи: налаштування, прогноз, спостережувана довжина тіні зі знаком, скалярний добуток і вектор проєкції. Перший початковий випадок — кут 0° і довжини 10 та 1. У першому експерименті змінюйте лише кут. У другому зафіксуйте $\mathbf a=(3,4)$ і напрямок $\mathbf b$, змінюючи лише його довжину. Перш ніж відкрити пояснення, порівняйте результат із початковим випадком і запишіть, чи підтверджує він ваш прогноз.

Перший експеримент: обертайте, не розтягуючи

Залиште довжину a рівною 10, а довжину b — 1. Перш ніж користуватися кнопками, передбачте:

• Якою буде довжина тіні при 0°?
• Чи може тінь зникнути при 90°, хоча стрілка й далі має довжину?
• Куди буде спрямована тінь при 180°? Який знак передасть цей напрямок?

Тепер виберіть 0°, 90° і 180°. Потім спробуйте 60°. Порівняйте тінь із двома числовими показниками.

Обертати a. Спостерігайте за його тінню.Скинути

Синій: вектор aЗелений: проекціяПомаранчевий: вектор b

b вказує праворуч і намальовано під лінією для видимості. Обидва вектори використовують однаковий масштаб.

Кут θ

20°

0°90°180°

Довжина a

10

Довжина b

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

Проєкція зі знаком9.40

Скалярний добуток9.40

Вектор проєкції(9.40, 0)на горизонтальній лінії

Що змінилося, хоча довжина стрілки залишалася сталою? Поясніть значення знака, перш ніж відкрити порівняння.

Порівняйте свої спостереження

Довжина тіні зі знаком дорівнює 10 при 0°, 0 при 90° і −10 при 180°. Мінус позначає напрямок, протилежний b, а не від’ємну геометричну довжину. При 60° отримуємо 5. Коли довжина b дорівнює 1, скалярний добуток у кожному випадку збігається з цим числом зі знаком.

Тінь лежить на всій прямій уздовж b. Вона може виходити за кінець b або бути спрямована у протилежний бік.

Другий експеримент: чи може число змінитися, коли тінь нерухома?

У тій самій моделі виберіть a = (3, 4). Це задасть b рівним $(1,0)$. Запишіть довжину тіні зі знаком, скалярний добуток і вектор проєкції.

Перш ніж змінити Довжина b з 1 на 2, передбачте, які з цих трьох величин зміняться. Залиште a незмінним, подовжте b і порівняйте результати.

Тепер передбачте результати для довжини 3 і перевірте їх. Яке правило пояснює обидва експерименти?

Порівняйте своє правило

Вектор тіні залишається рівним $(3,0)$, а її довжина зі знаком — 3. Скалярний добуток набуває значень 3, 6 і 9, коли довжина b змінюється з 1 на 2 та 3. Напрямок b визначає, куди падає тінь; довжина b масштабує скалярний добуток.

Назвіть величини та поясніть закономірність

Стрілка тіні — це векторна проєкція. Її довжина зі знаком уздовж b — скалярна проєкція, яку позначимо $p$.

Для гострого кута $\theta$ стрілка, тінь і перпендикуляр утворюють прямокутний трикутник. Косинус — це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, тому $p/\|\mathbf a\|=\cos\theta$. Версія зі знаком поширюється й на кути від 90° до 180°:

$$p=\|\mathbf a\|\cos\theta.$$

Скалярний добуток можна обчислити за координатами. У двох вимірах:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y.$$

У другому експерименті $(3,4)\cdot(1,0)=3$, а $(3,4)\cdot(2,0)=6$. Горизонтальний напрямок залишився тим самим, але коефіцієнт при 3 подвоївся.

Загалом скалярний добуток задовольняє рівність:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta=p\|\mathbf b\|.$$

Це пояснює закономірність: скалярний добуток дорівнює довжині проєкції зі знаком, помноженій на $\|\mathbf b\|$. Одиничний вектор має довжину 1, тому для нього скалярний добуток дорівнює $p$. Формула з кутом передбачає ненульові вектори; формула через координати працює і для нульового вектора.

Три пов’язані величини

Для ненульового опорного вектора b:

Якщо b є нульовим вектором, скалярний добуток дорівнює нулю, але проекція на його напрямок не визначена: він не має напрямку для проектування.

Новий випадок: розверніть опорну стрілку

Розв’яжіть на папері: залиште $\mathbf a=(3,4)$ і змініть $\mathbf b$ з $(2,0)$ на $(-2,0)$. До обчислень передбачте скалярний добуток, скалярну проєкцію та векторну проєкцію. Чи змінює розворот стрілки пряму, на якій вона лежить?

Перевірте своє міркування

Скалярний добуток дорівнює $3(-2)+4(0)=-6$. Ділення на $\|\mathbf b\|=2$ дає скалярну проєкцію $-3$. Векторна проєкція дорівнює

$$\frac{-6}{4}(-2,0)=(3,0).$$

Пряма й вектор тіні залишаються тими самими. Величини зі знаком змінюють знак, бо опорний напрямок розвертається.

Координати також є проекціями

Горизонтальна координата $(3,4)$ дорівнює 3, оскільки його скалярний добуток на горизонтальний одиничний вектор $(1,0)$ дорівнює 3. Його вертикальна координата дорівнює 4, оскільки його скалярний добуток на $(0,1)$ дорівнює 4.

Загалом, в ортонормальному базисі (перпендикулярні одиничні вектори) кожна координата є скалярним добутком:

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

Вибір іншого ортонормованого базису означає вимірювання того самого вектора в різних напрямках. Це геометрія кроків проекції в PCA та SVD.

Чому це важливо для нейрона

Зважена сума нейрона $\mathbf w\cdot\mathbf x$ вимірює знакову проекцію вхідних даних x на напрямок ваги w, масштабований $\|\mathbf w\|$. Зміщення змінює цей результат, а функція активації перетворює його.

Для вхідних даних однакової довжини сильніше вирівнювання за допомогою w дає більшу зважену суму. Це геометричний сенс, у якому нейрон може визначити напрямок у своєму вхідному просторі.

Висновок: кут визначає, наскільки один вектор падає вздовж іншого напрямку. Скалярний добуток вимірює цю кількість, масштабовану за довжиною опорного вектора.

Сплануйте власне порівняння

Виберіть кут, якого не було в прикладах; обидва вектори мають бути ненульовими. Запишіть налаштування й три показники. Запропонуйте зміну довжини $\mathbf b$, яка змінить скалярний добуток, але збереже вектор тіні. Запишіть прогноз, залиште $\mathbf a$ і напрямок $\mathbf b$ незмінними, а потім перевірте ідею.

Окремо повторіть порівняння для 90°. Чи змінює довжина $\mathbf b$ скалярний добуток у цьому випадку? Уточніть своє правило з урахуванням цього випадку. Запишіть, що ви передбачили, що спостерігали і як результати вплинули на пояснення.

Перевірте міркування

За сталого напрямку $\mathbf b$ зміна його додатної довжини не впливає ні на скалярну, ні на векторну проєкцію. Скалярний добуток масштабується разом із довжиною, але за нульової довжини тіні він залишається нульовим. Наведіть налаштування й показники; відрізняйте спостереження від формули, що пояснює загальне правило.

Перевірте розуміння

Спробуйте п’ять запитань про кути, масштабування та вимірювання проекції. Виберіть відповідь, а потім використовуйте Перевірити відповідь, щоб переглянути міркування. Ви можете повернутися до запитання та спробувати ще раз.

Питання 1 з 50 перевірено · 0 правильно

Вектор a має довжину 10 і утворює з одиничним вектором b кут 60°. Що таке a · b?

1050

Перевірити відповідь

Почніть спочатку

Продовжуйте навчання

Щоб побачити, як матриця використовує скалярний добуток для створення кожної вихідної координати, продовжуйте з Скалярний добуток: створення виводу по одному рядку.