Чи є інтеграл площею?

Визначений інтеграл вимірює площу зі знаком між кривою та горизонтальною віссю. Якщо крива лежить вище осі, це звичайна площа під нею.

Почніть із синьої кривої $f(x)=x^2$. Уявіть, що область під ним пофарбована в зелений колір від 0 до рухомої кінцевої точки $x$. Коли ви пересуваєте кінцеву точку праворуч, зелена область збільшується. Назвіть його область $A(x)$.

Існує дві величини, які слід відстежувати: висота кривої, $f(x)$, і накопичена на даний момент площа, $A(x)$.

Побудуйте площу з прямокутників

Розділіть інтервал від 0 до $x$ на рівні частини. На кожній частині намалюйте прямокутник, висота якого дорівнює висоті кривої на лівому краю. Кожен прямокутник сприяє:

$$\text{rectangle area}=\text{height}\times\text{width}$$

Додайте ці області, щоб оцінити зелену область. Спробуйте 4 прямокутники, потім 16 прямокутників, потім 128 прямокутників.

Побудуйте площу під x²Скинути

Синій: висота кривоїЗелений: площа і прямокутники

Кінцева точка x

3.0

04

4 прямокутники16 прямокутники64 прямокутники128 прямокутники

Прямокутна сума5.9064 прямокутники з лівого краю

Точна площа A(x)9.000x³ / 3

Відсутня область3.094точна площа − сума прямокутника

Вужчі прямокутники залишають менше відкритої площі. Їх сума наближається до інтеграла.

Оскільки $x^2$ збільшується на цьому інтервалі, ці прямокутники з лівого краю занижують площу. Збільшення кількості прямокутників робить їх вужчими та наближає суму до точної площі.

Інтеграл є межею цих сум, коли ширини наближаються до нуля:

$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}\qquad(x\geq 0)$$

Нижня межа, 0, вказує, де починається накопичення. Верхня межа, $x$, вказує, де вона закінчується. Буква $t$ - тимчасова позиція всередині інтервалу; його використання зберігає цю позицію окремо від кінцевої точки $x$. $dt$ вказує на те, що ми інтегруємося щодо $t$.

У $x=3$:

$$A(3)=\frac{3^3}{3}=9$$

Зелена територія 9 квадратних одиниць. Висота кривої тут також дорівнює 9, але цей цифровий збіг є збігом: у $x=2$ висота дорівнює 4, а площа — $8/3$.

Перемістити кінцеву точку: одна додаткова смужка

Що станеться, коли ми перейдемо від $x$ до $x+\Delta x$? Праворуч додаємо тонку смужку. Його точна площа:

$$\Delta A=A(x+\Delta x)-A(x)$$

Для малого позитивного $\Delta x$ висота майже не змінюється по смузі. Розглядаючи його як прямокутник, ви отримаєте:

$$\Delta A\approx f(x)\,\Delta x=x^2\,\Delta x$$

Зберігайте кінцеву точку 3 у провіднику нижче. Спробуйте Δx = 0.1, потім Δx = 0.001. Подивіться, як отримана площа на одиницю горизонтального руху наближається до 9.

Одна додаткова смуга площіСкинути

Синій: висота кривоїЗелений: накопичена площаПомаранчевий: додана смужка

Кінцева точка x

3.0

04

Δx = 0.5Δx = 0.1Δx = 0.01Δx = 0.001

Смуга, збільшена по горизонталі; висота масштабується окремо. Штриховий прямокутник: оцінка x² Δx.

Додана площа ΔA5.291666667A(x + Δx) − A(x)

Середня висота ΔA / Δx10.583333над цією кінцевою смужкою

Миттєва швидкість A′(x)9.000дорівнює висоті кривої x²

Середня висота 1.583333 вище x². Зменшення Δx наближає цю різницю до нуля, навіть якщо додана площа також зменшується.

При $x=3$ і $\Delta x=0.001$ оцінка прямокутника дорівнює:

$$\Delta A\approx 9\times 0.001=0.009$$

Точна додана область – $0.009003000333\ldots$. Невелика додаткова кількість походить від кривої, що піднімається по смузі.

Ми використовуємо $\Delta x$ і $\Delta A$ для цих кінцевих змін. Похідна нотація, $dA/dx$, називає граничну швидкість, коли горизонтальна зміна зменшується до нуля.

Навіщо ділити додану область на ширину?

Співвідношення $\Delta A/\Delta x$ запитує: скільки площі ми отримуємо на одиницю горизонтального руху?

Для нашого вузького прямокутника:

$$\frac{\Delta A}{\Delta x}\approx\frac{x^2\,\Delta x}{\Delta x}=x^2$$

Поділ області на її ширину залишає висоту. Для кінцевої смуги співвідношення є середньою висотою цієї смуги. Коли ширина наближається до нуля, це середнє наближається до висоти кривої в кінцевій точці:

$$A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=x^2=f(x)$$

Ви також можете побачити, як наближення стає точним, розгортаючи куби:

$$\frac{(x+\Delta x)^3/3-x^3/3}{\Delta x} =x^2+x\,\Delta x+\frac{(\Delta x)^2}{3}$$

Останні два члени зникають, коли $\Delta x$ наближається до нуля, залишаючи $x^2$.

Основна теорема математичного аналізу

Те саме співвідношення має місце для будь-якої неперервної функції $f$:

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x)=f(x)$$

Швидкість зміни накопиченої площі дорівнює висоті вихідної кривої. Це накопичувальна частина Основної теореми числення.

Це також дає практичний спосіб обчислення певних інтегралів. Якщо $F'(x)=f(x)$, то:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Для $f(x)=x^2$ першопохідною є $F(x)=x^3/3$. Тому область від 0 до 3 є $F(3)-F(0)=9$.

Висота й нахил — різні величини

У цьому прикладі є дві різні похідні:

Отже, $A'(3)=9$ — це нахил функції площі $A$, і він дорівнює висоті синьої кривої $f$. Нахил самої синьої кривої дорівнює $f'(3)=6$.

Подумайте про те, що вода тече в резервуар. Якщо $f(t)$ — швидкість потоку в літрах на секунду, то $\int_0^x f(t)\,dt$ — це кількість, додана протягом $x$ секунд, у літрах. Диференціація цієї накопиченої кількості відновлює швидкість потоку.

Що робити, якщо крива йде нижче осі?

З обмеженнями, що проходять зліва направо, регіони під горизонтальною віссю сприяють негативно. Наприклад:

$$\int_0^2 (t-1)\,dt=0$$

Від’ємний трикутник від 0 до 1 скасовує додатний трикутник від 1 до 2. Їх загальна геометрична площа дорівнює 1 квадратній одиниці, але площа зі знаком дорівнює 0. Щоб виміряти загальну геометричну площу, проінтегруйте абсолютне значення функції.

Не лише геометрична площа

Інтеграція накопичує безперервно змінні кількості. Для безперервної випадкової величини з щільністю ймовірності $p$:

$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(t)\,dt$$

Тут площа під кривою щільності представляє ймовірність. Очікуване значення накопичує кожне можливе значення, зважене за його щільністю:

$$\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} t\,p(t)\,dt$$

Ця формула припускає, що очікування існує. Вірогідність і очікування — це два способи появи цієї самої ідеї безперервного накопичення в машинному навчанні.

Перевірте розуміння

Спробуйте п’ять запитань про площу, тонкі смужки та швидкість зміни. Виберіть відповідь, а потім використовуйте Перевірити відповідь, щоб переглянути міркування. Ви можете повернутися до запитання та спробувати ще раз.

Питання 1 з 50 перевірено · 0 правильно

Для f(x) = x², при x = 2, яка пара дає висоту кривої та площу, накопичену від 0?

Висота = 4; площа = 8/3.Висота = 4; площа = 4.Висота = 8/3; площа = 4.

Перевірити відповідь

Почніть спочатку

Продовжуйте навчання

Щоб дослідити похідні як нахили та побачити, як вони спрямовують навчання нейронної мережі, перейдіть до Похідна: нахил у точці.