Интеграл — это площадь?

Определенный интеграл измеряет площадь со знаком между кривой и горизонтальной осью. Для кривой над осью это обычная область под ней.

Начнём с синей кривой $f(x)=x^2$. Закрасим зелёным область под ней от 0 до подвижной конечной точки $x$. Когда точка движется вправо, область увеличивается. Обозначим её площадь через $A(x)$.

Необходимо отслеживать две величины: высоту кривой, $f(x)$, и накопленную площадь, $A(x)$.

Построение области из прямоугольников

Разделим интервал от 0 до $x$ на равные части. На каждой построим прямоугольник высотой до кривой у левого края. Площадь каждого прямоугольника равна:

$$\text{площадь прямоугольника}=\text{высота}\times\text{ширина}$$

Добавьте эти области, чтобы оценить зеленую область. Попробуйте Прямоугольники: 4, затем Прямоугольники: 16, затем Прямоугольники: 128.

Постройте площадь под x²Сбросить

Синий: высота кривойЗеленый: площадь и прямоугольники

Конечная точка х

3.0

04

Прямоугольники: 4Прямоугольники: 16Прямоугольники: 64Прямоугольники: 128

Сумма прямоугольника5.9064 прямоугольники с левым краем

Точная площадь A(x)9.000x³ / 3

Отсутствующая область3.094точная площадь — сумма прямоугольников

Более узкие прямоугольники оставляют незакрытой меньшую площадь. Их сумма приближается к интегралу.

Поскольку $x^2$ увеличивается на этом интервале, эти прямоугольники с левым краем недооценивают площадь. Увеличение количества прямоугольников делает их уже и приближает сумму к точной площади.

Интеграл является пределом этих сумм при приближении ширины к нулю:

$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}\qquad(x\geq 0)$$

Нижний предел, 0, указывает, где начинается накопление. Верхний предел, $x$, указывает, где он заканчивается. Буква $t$ — временная позиция внутри интервала; его использование сохраняет эту позицию отдельно от конечной точки $x$. $dt$ указывает, что мы интегрируем относительно $t$.

В $x=3$:

$$A(3)=\frac{3^3}{3}=9$$

Площадь зелёной области — 9 квадратных единиц. Высота кривой здесь тоже равна 9, но это совпадение: при $x=2$ высота равна 4, а площадь — $8/3$.

Переместить конечную точку: одна дополнительная полоса

Что произойдет, если мы перейдем от $x$ к $x+\Delta x$? Добавляем тонкую полоску справа. Его точная площадь:

$$\Delta A=A(x+\Delta x)-A(x)$$

Для небольшого положительного значения $\Delta x$ высота практически не меняется поперек полосы. Обработка его как прямоугольника дает:

$$\Delta A\approx f(x)\,\Delta x=x^2\,\Delta x$$

Оставьте конечную точку 3 в проводнике ниже. Попробуйте Δx = 0.1, затем Δx = 0.001. Следите за площадью, полученной на единицу горизонтального движения, подход 9.

Одна дополнительная полоса площадиСбросить

Синий: высота кривойЗеленый: накопленная площадьОранжевый: добавлена полоса

Конечная точка х

3.0

04

Δx = 0.5Δx = 0.1Δx = 0.01Δx = 0.001

Полоса увеличена по горизонтали; высота масштабируется отдельно. Пунктирный прямоугольник: оценка x² Δx.

Добавленная площадь ΔA5.291666667A(x + Δx) − A(x)

Средняя высота ΔA / Δx10.583333над этой конечной полосой

Мгновенная скорость A′(x)9.000равна высоте кривой x²

Средняя высота 1.583333 выше x². Уменьшение Δx приближает эту разницу к нулю, хотя добавленная площадь также уменьшается.

В $x=3$ и $\Delta x=0.001$ оценка прямоугольника равна:

$$\Delta A\approx 9\times 0.001=0.009$$

Точная добавленная область — $0.009003000333\ldots$. Небольшая дополнительная сумма возникает из-за подъема кривой поперек полосы.

Мы используем $\Delta x$ и $\Delta A$ для этих конечных изменений. Обозначение производной, $dA/dx$, обозначает предельную скорость, когда горизонтальное изменение сжимается до нуля.

Зачем делить добавленную площадь на ширину?

Соотношение $\Delta A/\Delta x$ спрашивает: сколько площади мы получаем на единицу горизонтального движения?

Для нашего узкого прямоугольника:

$$\frac{\Delta A}{\Delta x}\approx\frac{x^2\,\Delta x}{\Delta x}=x^2$$

Разделив площадь на ее ширину, получим высоту. Для конечной полосы соотношение представляет собой среднюю высоту по этой полосе. Когда ширина приближается к нулю, это среднее значение приближается к высоте кривой в конечной точке:

$$A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=x^2=f(x)$$

Вы также можете увидеть, как аппроксимация становится точной, если разложить кубы:

$$\frac{(x+\Delta x)^3/3-x^3/3}{\Delta x} =x^2+x\,\Delta x+\frac{(\Delta x)^2}{3}$$

Последние два члена исчезают, когда $\Delta x$ приближается к нулю, остается $x^2$.

Фундаментальная теорема исчисления

Такое же соотношение справедливо для любой непрерывной функции $f$:

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x)=f(x)$$

Скорость изменения накопленной площади равна высоте исходной кривой. Это часть основной теоремы математического анализа, связанная с накоплением.

Это также дает практический способ вычисления определенных интегралов. Если $F'(x)=f(x)$, то:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Для $f(x)=x^2$ первообразной является $F(x)=x^3/3$. Именно поэтому область от 0 до 3 — это $F(3)-F(0)=9$.

Высота и наклон разные

В этом примере есть две разные производные:

Таким образом, $A'(3)=9$ — это наклон функции площади $A$, и он равен высоте синей кривой $f$. Наклон самой синей кривой — $f'(3)=6$.

Представьте себе воду, текущую в резервуар. Если $f(t)$ — это скорость потока в литрах в секунду, то $\int_0^x f(t)\,dt$ — это количество, добавленное за $x$ секунд, в литрах. Дифференцирование этой накопленной суммы восстанавливает скорость потока.

Что, если кривая опустится ниже оси?

Если пределы идут слева направо, области ниже горизонтальной оси вносят отрицательный вклад. Например:

$$\int_0^2 (t-1)\,dt=0$$

Отрицательный треугольник от 0 до 1 аннулирует положительный треугольник от 1 до 2. Их общая геометрическая площадь составляет 1 квадратную единицу, но площадь со знаком равна 0. Чтобы измерить общую геометрическую площадь, проинтегрируйте абсолютное значение функции.

За пределами геометрической площади

Интегрирование накапливает непрерывно меняющиеся величины. Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности $p$:

$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(t)\,dt$$

Здесь область под кривой плотности представляет вероятность. Ожидаемое значение суммирует каждое возможное значение, взвешенное по его плотности:

$$\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} t\,p(t)\,dt$$

Формула предполагает существование математического ожидания. Вероятности и математические ожидания — два примера использования непрерывного накопления в машинном обучении.

Проверьте свое понимание

Попробуйте ответить на пять вопросов о площади, тонких полосках и скорости изменения. Выберите ответ, затем используйте Проверить ответ, чтобы просмотреть обоснование. Вы можете вернуться к вопросу и повторить попытку.

Вопрос 1 из 5Проверено: 0 · Верно: 0

Для f(x) = x² при x = 2 какая пара задаёт высоту кривой и площадь, накопленную от 0?

Высота = 4; площадь = 8/3.Высота = 4; площадь = 4.Высота = 8/3; площадь = 4.

Проверить ответ

Начать сначала

Продолжайте учиться

Чтобы изучить производные как наклоны и посмотреть, как они управляют обучением нейронной сети, перейдите к Производная: наклон в точке.