Czy całka to pole powierzchni?

Całka oznaczona mierzy pole ze znakiem między krzywą a osią poziomą. Dla krzywej leżącej nad osią jest to zwykłe pole obszaru pod nią.

Zacznij od niebieskiej krzywej $f(x)=x^2$. Zamaluj na zielono obszar pod nią, od 0 do ruchomego końca przedziału $x$. Gdy przesuwasz ten koniec w prawo, obszar rośnie. Jego pole oznaczmy przez $A(x)$.

Rozróżniamy dwie wielkości: wysokość krzywej, $f(x)$, oraz pole zgromadzone do tej pory, $A(x)$.

Zbuduj obszar z prostokątów

Podziel przedział od 0 do $x$ na równe części. Na każdej z nich zbuduj prostokąt, którego wysokość odpowiada wysokości krzywej na lewym końcu. Pole każdego prostokąta wynosi:

$$\text{pole prostokąta}=\text{wysokość}\times\text{szerokość}$$

Dodaj te obszary, aby oszacować zielony obszar. Wypróbuj Prostokąty: 4, następnie Prostokąty: 16, a następnie Prostokąty: 128.

Zbuduj obszar pod x²Resetuj

Niebieski: wysokość krzywejZielony: obszar i prostokąty

Punkt końcowy x

3.0

04

Prostokąty: 4Prostokąty: 16Prostokąty: 64Prostokąty: 128

Suma prostokątna5.9064 prostokąty z lewej strony

Dokładny obszar A(x)9.000x³ / 3

Brakujący obszar3.094dokładne pole - suma prostokątów

Węższe prostokąty pozostawiają mniej obszaru odkrytego. Ich suma zbliża się do całki.

Ponieważ $x^2$ wzrasta w tym przedziale, te prostokąty po lewej stronie powodują niedoszacowanie obszaru. Zwiększenie liczby prostokątów zawęża je i przybliża sumę do dokładnego obszaru.

Całka jest granicą tych sum, gdy szerokości zbliżają się do zera:

$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}\qquad(x\geq 0)$$

Dolna granica, 0, mówi, gdzie zaczyna się akumulacja. Górna granica, $x$, mówi, gdzie się kończy. Litera $t$ oznacza tymczasową pozycję wewnątrz przedziału; użycie go powoduje oddzielenie tej pozycji od punktu końcowego $x$. $dt$ wskazuje, że integrujemy w odniesieniu do $t$.

W $x=3$:

$$A(3)=\frac{3^3}{3}=9$$

Pole zielonego obszaru wynosi 9 jednostek kwadratowych. Wysokość krzywej też wynosi tu 9, ale to zbieg okoliczności: dla $x=2$ wysokość wynosi 4, a pole $8/3$.

Przesuń punkt końcowy: jeden dodatkowy pasek

Co się stanie, gdy przejdziemy z $x$ na $x+\Delta x$? Dodajemy cienki pasek po prawej stronie. Jego dokładne pole wynosi:

$$\Delta A=A(x+\Delta x)-A(x)$$

W przypadku małego pozytywnego $\Delta x$ wysokość prawie nie zmienia się w poprzek paska. Traktowanie go jako prostokąta daje:

$$\Delta A\approx f(x)\,\Delta x=x^2\,\Delta x$$

Zachowaj punkt końcowy na poziomie 3 w eksploratorze poniżej. Wypróbuj Δx = 0.1, a następnie Δx = 0.001. Obserwuj obszar uzyskany na jednostkę ruchu poziomego, zbliżając się do 9.

Jeden dodatkowy pasek obszaruResetuj

Niebieski: wysokość krzywejZielony: zgromadzony obszarPomarańczowy: dodano pasek

Punkt końcowy x

3.0

04

Δx = 0.5Δx = 0.1Δx = 0.01Δx = 0.001

Pasek powiększony poziomo; wysokość skalowana oddzielnie. Przerywany prostokąt: oszacowanie x² Δx.

Dodano obszar ΔA5.291666667A(x + Δx) − A(x)

Średnia wysokość ΔA / Δx10.583333nad tym skończonym pasem

Szybkość chwilowa A′(x)9.000równa się wysokości krzywej x²

Średnia wysokość wynosi 1.583333 powyżej x². Zmniejszenie Δx powoduje, że różnica zbliża się do zera, mimo że dodany obszar również się kurczy.

W przypadku $x=3$ i $\Delta x=0.001$ oszacowanie prostokąta wynosi:

$$\Delta A\approx 9\times 0.001=0.009$$

Dokładny dodany obszar to $0.009003000333\ldots$. Niewielka dodatkowa kwota pochodzi z krzywej wznoszącej się w poprzek paska.

Do tych skończonych zmian używamy $\Delta x$ i $\Delta A$. Notacja pochodna, $dA/dx$, określa szybkość graniczną, gdy zmiana pozioma zmniejsza się do zera.

Po co dzielić dodany obszar przez szerokość?

Współczynnik $\Delta A/\Delta x$ pyta: ile powierzchni zyskujemy na jednostkę ruchu poziomego?

Dla naszego wąskiego prostokąta:

$$\frac{\Delta A}{\Delta x}\approx\frac{x^2\,\Delta x}{\Delta x}=x^2$$

Dzielenie obszaru przez jego szerokość pozostawia wysokość. W przypadku skończonego paska stosunek stanowi średnia wysokość na tym pasku. Gdy szerokość zbliża się do zera, średnia zbliża się do wysokości krzywej w punkcie końcowym:

$$A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=x^2=f(x)$$

Możesz także zobaczyć, że przybliżenie staje się dokładne poprzez rozwinięcie sześcianów:

$$\frac{(x+\Delta x)^3/3-x^3/3}{\Delta x} =x^2+x\,\Delta x+\frac{(\Delta x)^2}{3}$$

Ostatnie dwa wyrazy znikają, gdy $\Delta x$ zbliża się do zera, pozostawiając $x^2$.

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego

Ta sama zależność obowiązuje dla dowolnej funkcji ciągłej $f$:

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x)=f(x)$$

Tempo, z jakim zmienia się skumulowany obszar, jest równe wysokości pierwotnej krzywej. Jest to część Podstawowego Twierdzenia rachunku różniczkowego dotycząca akumulacji.

Daje także praktyczny sposób obliczania całek oznaczonych. Jeśli $F'(x)=f(x)$, to:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Dla $f(x)=x^2$ funkcją pierwotną jest $F(x)=x^3/3$. Dlatego obszar od 0 do 3 to $F(3)-F(0)=9$.

Wysokość i nachylenie są różne

W tym przykładzie istnieją dwie różne pochodne:

Zatem $A'(3)=9$ jest nachyleniem funkcji powierzchni $A$ i jest równe wysokości niebieskiej krzywej $f$. Nachylenie samej niebieskiej krzywej wynosi $f'(3)=6$.

Wyobraź sobie wodę wpływającą do zbiornika. Jeżeli $f(t)$ jest natężeniem przepływu w litrach na sekundę, wówczas $\int_0^x f(t)\,dt$ jest ilością dodaną w litrach w ciągu $x$ sekund. Zróżniczkowanie tej skumulowanej ilości przywraca natężenie przepływu.

Co się stanie, jeśli krzywa spadnie poniżej osi?

Przy granicach biegnących od lewej do prawej, regiony poniżej osi poziomej mają wpływ ujemny. Na przykład:

$$\int_0^2 (t-1)\,dt=0$$

Trójkąt ujemny od 0 do 1 anuluje trójkąt dodatni od 1 do 2. Ich całkowite pole geometryczne wynosi 1 jednostkę kwadratową, ale ich powierzchnia ze znakiem wynosi 0. Aby zmierzyć całkowite pole geometryczne, całkuj wartość bezwzględną funkcji.

Poza obszarem geometrycznym

Integracja gromadzi stale zmieniające się ilości. Dla ciągłej zmiennej losowej o gęstości prawdopodobieństwa $p$:

$$P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(t)\,dt$$

Tutaj obszar pod krzywą gęstości reprezentuje prawdopodobieństwo. Wartość oczekiwana kumuluje każdą możliwą wartość ważoną jej gęstością:

$$\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} t\,p(t)\,dt$$

W tej formule zakłada się, że oczekiwanie istnieje. Prawdopodobieństwo i oczekiwania to dwa sposoby, w jakie ta sama koncepcja ciągłej akumulacji pojawia się w uczeniu maszynowym.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wypróbuj pięć pytań dotyczących powierzchni, cienkich pasków i tempa zmian. Wybierz odpowiedź, a następnie użyj Sprawdź odpowiedź, aby zobaczyć uzasadnienie. Możesz wrócić do pytania i spróbować jeszcze raz.

Pytanie 1 z 5Sprawdzono: 0 · Poprawne: 0

Dla f(x) = x² i x = 2, która para podaje wysokość krzywej i pole zgromadzone od 0?

Wysokość = 4; pole = 8/3.Wysokość = 4; pole = 4.Wysokość = 8/3; pole = 4.

Sprawdź odpowiedź

Zacznij od nowa

Ucz się dalej

Aby zbadać pochodne jako nachylenia i zobaczyć, jak wpływają na uczenie sieci neuronowej, przejdź do Pochodna: nachylenie w punkcie.