Как скалярное произведение связано с проекцией?

Представьте себе вектор a, направленный по диагонали, и вектор b, направленный горизонтально. Направьте свет перпендикулярно b: a отбрасывает тень на линию вдоль b. Эта тень — его векторная проекция.

Скалярное произведение тесно связано, но оно дает число, а не вектор. Давайте посмотрим, что именно измеряет это число.

Какая часть длины приходится на b?

Держите a на длине 10 и вращайте его. Его проекция с учётом знака на направление b:

$$p = \|\mathbf a\|\cos\theta$$

Косинус преобразует общую длину вектора в длину, указывающую в выбранном направлении. Попробуйте 60°, затем 90°, затем 180°.

Поворот а. Наблюдайте за его тенью.Сбросить

Синий: вектор аЗеленый: проекцияОранжевый: вектор b

b указывает вправо и для удобства рисуется под линией. Оба вектора используют один и тот же масштаб.

Угол θ

20°

0°90°180°

Длина a

10

Длина b

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

Проекция с учётом знака9.40‖a‖ cos θ

Скалярное произведение9.40проекция × ‖b‖

Вектор проекции(9.40, 0)на горизонтальной линии

Проекция положительна: часть а или все точки направлены в направлении b. Поскольку b — единичный вектор, скалярное произведение равно проекции со знаком.

При угле 0° все 10 единиц указывают на b. При 60° — только 5. При угле 90° проекция равна нулю, хотя a по-прежнему имеет длину 10. При угле 180° она равна -10: вектор указывает полностью в противоположном направлении.

Проекция лежит на прямой, проходящей через b, поэтому может выходить за конец b или быть направлена в обратную сторону.

Где используется скалярное произведение

Скалярное произведение умножает длину проекции со знаком на длину b:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b = \|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta = p\|\mathbf b\|$$

Когда b является единичным вектором ($\|\mathbf b\|=1$), скалярное произведение равно длине проекции со знаком. Измените Длина b с 1 на 2 в проводнике. Тень остается на месте, но скалярное произведение удваивается.

Для конкретного примера выберите a = (3, 4). С $\mathbf b=(1,0)$:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(1)+4(0)=3$$

Теперь установите длину b равной 2, поэтому $\mathbf b=(2,0)$:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+4(0)=6$$

Длина проекции со знаком по-прежнему равна 3, а вектор проекции по-прежнему равен (3, 0). Изменилось только скалярное произведение.

Три связанные величины

Для ненулевого опорного вектора b:

Если b — нулевой вектор, скалярное произведение равно нулю, но проекция на его направление не определена: у него нет направления для проецирования.

Координаты тоже являются проекциями

Горизонтальная координата $(3,4)$ равна 3, потому что ее скалярное произведение с горизонтальным единичным вектором $(1,0)$ равно 3. Его вертикальная координата равна 4, потому что ее скалярное произведение с $(0,1)$ равно 4.

В более общем смысле, в ортонормированном базисе (перпендикулярные единичные векторы) каждая координата представляет собой скалярное произведение:

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

Выбор другого ортонормированного базиса означает измерение одного и того же вектора в разных направлениях. Это геометрия шагов проецирования в PCA и SVD.

Почему это важно для нейрона

Взвешенная сумма нейрона $\mathbf w\cdot\mathbf x$ измеряет знаковую проекцию входного сигнала x на направление веса w, масштабируемую $\|\mathbf w\|$. Смещение меняет этот результат, а функция активации трансформирует его.

Для входных данных одинаковой длины более сильное выравнивание по w дает большую взвешенную сумму. Это геометрический смысл, в котором нейрон может определять направление в своем входном пространстве.

Вывод: угол определяет, какая часть одного вектора падает в другом направлении. Скалярное произведение измеряет эту величину, масштабированную по длине опорного вектора.

Проверьте свое понимание

Попробуйте ответить на пять вопросов об углах, масштабировании и том, что измеряет проекция. Выберите ответ, затем используйте Проверить ответ, чтобы просмотреть обоснование. Вы можете вернуться к вопросу и повторить попытку.

Вопрос 1 из 5Проверено: 0 · Верно: 0

Вектор a имеет длину 10 и образует угол 60° с единичным вектором b. Чему равно a · b?

1050

Проверить ответ

Начать сначала

Продолжайте учиться

Чтобы увидеть, как матрица использует скалярные произведения для создания каждой выходной координаты, перейдите к разделу Скалярные произведения: построение выходных данных по одной строке за раз.