Dlaczego iloczyn skalarny wiąże się z rzutowaniem?

Wyobraź sobie wektor a skierowany po przekątnej i wektor b skierowany poziomo. Świeć światłem prostopadle do b: a rzuca cień na linię wzdłuż b. Ten cień to jego projekcja wektorowa.

Iloczyn skalarny jest blisko spokrewniony, ale daje liczbę, a nie wektor. Zobaczmy dokładnie, co mierzy ta liczba.

Jaka część długości przypada na b?

Zachowaj a na długości 10 i obróć go. Jego rzut ze znakiem na kierunek b to:

$$p = \|\mathbf a\|\cos\theta$$

Cosinus przekształca całkowitą długość wektora na długość wskazującą wybrany kierunek. Wypróbuj 60°, następnie 90°, a następnie 180°.

Obróć A. Obserwuj jego cień.Resetuj

Niebieski: wektor aZielony: projekcjaPomarańczowy: wektor b

b wskazuje w prawo i jest narysowane poniżej linii, aby było widoczne. Obydwa wektory używają tej samej skali.

Kąt θ

20°

0°90°180°

Długość a

10

Długość b

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

Rzut ze znakiem9.40‖a‖ cos θ

Iloczyn skalarny9.40projekcja × „b”

Wektor rzutu(9.40, 0)na linii poziomej

Rzut jest dodatni: część lub całość a wskazuje w kierunku b. Ponieważ b jest wektorem jednostkowym, iloczyn skalarny jest równy rzutowaniu ze znakiem.

Przy 0° wszystkie 10 jednostek wskazuje wzdłuż b. Przy 60° robi to tylko 5. Przy 90° rzut wynosi zero, chociaż a nadal ma długość 10. Przy 180° wynosi -10: wektor jest skierowany całkowicie w przeciwnym kierunku.

Rzut leży na prostej wyznaczonej przez b, więc może sięgać poza koniec b albo wskazywać przeciwny kierunek.

Gdzie pojawia się iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny mnoży długość projekcji ze znakiem przez długość b:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b = \|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta = p\|\mathbf b\|$$

Gdy b jest wektorem jednostkowym ($\|\mathbf b\|=1$), iloczyn skalarny jest równy długości rzutowania ze znakiem. Zmień Długość b z 1 na 2 w eksploratorze. Cień pozostaje na miejscu, ale iloczyn skalarny podwaja się.

Aby uzyskać konkretny przykład, wybierz a = (3, 4). Z $\mathbf b=(1,0)$:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(1)+4(0)=3$$

Teraz ustaw długość b na 2, więc $\mathbf b=(2,0)$:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+4(0)=6$$

Długość projekcji ze znakiem nadal wynosi 3, a wektor projekcji nadal wynosi (3, 0). Zmienił się tylko iloczyn skalarny.

Trzy powiązane wielkości

Dla niezerowego wektora odniesienia b:

Jeśli b jest wektorem zerowym, iloczyn skalarny wynosi zero, ale rzutowanie na jego kierunek jest nieokreślone: nie ma kierunku, na który można rzutować.

Współrzędne też są rzutami

Współrzędna pozioma $(3,4)$ wynosi 3, ponieważ jej iloczyn skalarny z poziomym wektorem jednostkowym $(1,0)$ wynosi 3. Jego współrzędna pionowa wynosi 4, ponieważ jego iloczyn skalarny z $(0,1)$ wynosi 4.

Mówiąc bardziej ogólnie, w bazie ortonormalnej (prostopadłe wektory jednostkowe) każda współrzędna jest iloczynem skalarnym:

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

Wybór innej bazy ortonormalnej oznacza pomiar tego samego wektora w różnych kierunkach. To jest geometria kroków projekcji w PCA i SVD.

Dlaczego ma to znaczenie dla neuronu

Suma ważona neuronu $\mathbf w\cdot\mathbf x$ mierzy rzutowanie sygnału wejściowego x ze znakiem na kierunek wagi w, skalowany przez $\|\mathbf w\|$. Odchylenie zmienia ten wynik, a funkcja aktywacji przekształca go.

W przypadku danych wejściowych o tej samej długości silniejsze wyrównanie z w daje większą sumę ważoną. To jest geometryczny sens, w jakim neuron może wykryć kierunek w swojej przestrzeni wejściowej.

Na wynos: kąt kontroluje, jaka część wektora opada w innym kierunku. Iloczyn skalarny mierzy tę wielkość, skalowaną według długości wektora odniesienia.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wypróbuj pięć pytań na temat kątów, skalowania i tego, co mierzy rzutowanie. Wybierz odpowiedź, a następnie użyj Sprawdź odpowiedź, aby zobaczyć uzasadnienie. Możesz wrócić do pytania i spróbować jeszcze raz.

Pytanie 1 z 5Sprawdzono: 0 · Poprawne: 0

Wektor a ma długość 10 i tworzy kąt 60° z wektorem jednostkowym b. Ile wynosi a · b?

1050

Sprawdź odpowiedź

Zacznij od nowa

Ucz się dalej

Aby zobaczyć, jak macierz wykorzystuje iloczyny skalarne do wygenerowania każdej współrzędnej wyjściowej, przejdź do Iloczyny skalarne: tworzenie wyniku po jednym wierszu na raz.