点积为什么与投影有关？

想象一个指向对角线的向量 a 和一个水平指向的向量 b。垂直于 b 照射光线：a 将阴影投射到沿 b 的线上。那个阴影就是它的矢量投影。

点积密切相关，但它给出的是数字，而不是向量。让我们看看这个数字到底意味着什么。

沿着 b 的长度有多少？

保持 a 的长度为 10 并旋转它。它在 b 方向上的有符号投影为：

$$p = \|\mathbf a\|\cos\theta$$

余弦将矢量的总长度转换为沿所选方向指向的长度。尝试60°，然后90°，然后180°。

旋转 a.观察它的影子。重置

蓝色：矢量 a绿色：投影橙色：矢量 b

b 指向右侧，并绘制在线下方以提高可见性。两个向量使用相同的尺度。

角度θ

20°

0°90°180°

a 的长度

10

b 的长度

1

0°60°90°180°a = (3, 4)

带符号的投影长度9.40‖a‖ cos θ

点积9.40投影 × ‖b‖

投影向量(9.40, 0)在水平线上

投影为正：a的部分或全部指向b的方向。 由于 b 是单位向量，因此点积等于带符号的投影。

在 0° 时，所有 10 个单位都指向 b。在 60° 时，只有 5 个这样做。在 90° 时，投影为零，尽管 a 的长度仍为 10。在 180° 时，投影为 -10：矢量完全指向相反的方向。

投影落在通过 b 的 线 上，因此它可以延伸超出 b 的尖端或指向后方。

点积的用处

点积将带符号的投影长度乘以 b 的长度：

$$\mathbf a\cdot\mathbf b = \|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta = p\|\mathbf b\|$$

当b是单位向量（$\|\mathbf b\|=1$）时，点积等于带符号投影长度。在交互工具中将 b 的长度 从 1 更改为 2。阴影保持在原位，但点积加倍。

具体示例选择a = (3, 4)。对于 $\mathbf b=(1,0)$：

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(1)+4(0)=3$$

现在将 b 的长度设置为 2，因此 $\mathbf b=(2,0)$：

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+4(0)=6$$

带符号的投影长度仍然是3，投影向量仍然是(3, 0)。仅点积发生了变化。

三个相关量

对于非零参考向量 b：

如果 b 是零向量，则点积为零，但其方向上的投影未定义：它没有可投影的方向。

坐标也是投影

$(3,4)$ 的横坐标为 3，因为它与水平单位向量 $(1,0)$ 的点积为 3。它的纵坐标为 4，因为它与 $(0,1)$ 的点积为 4。

更一般地，在标准正交基（垂直单位向量）中，每个坐标都是点积：

$$a_i = \mathbf a\cdot\mathbf e_i$$

选择不同的正交基意味着沿不同方向测量相同的向量。这是 PCA 和 SVD 中投影步骤背后的几何结构。

为什么这对神经元很重要

神经元的加权和 $\mathbf w\cdot\mathbf x$ 测量输入 x 在权重方向 w 上的有符号投影，按 $\|\mathbf w\|$ 缩放。偏置会平移结果，激活函数再对其进行变换。

对于相同长度的输入，与 w 的更强对齐会产生更大的加权和。这就是神经元可以检测其输入空间中的方向的几何意义。

要点： 角度控制一个向量沿另一个方向落下的程度。点积测量该量，并按参考向量的长度缩放。

检查你的理解情况

尝试五个有关角度、比例和投影测量内容的问题。选择一个答案，然后使用 检查答案 查看推理。您可以重新审视一个问题并重试。

第 1 题，共 5 题已检查 0 题 · 答对 0 题

向量 a 的长度为 10，与单位向量 b 的夹角为 60°。a · b 等于多少？

1050

检查答案

重新开始

继续学习

要了解矩阵如何使用点积来生成每个输出坐标，请继续点积：一次构建一行输出。