我们都很熟悉十进制下的四舍五入。二进制的舍入与之类似，但仍然容易让人困惑，其中最大的难点是小数。比如，小数 0.11101 舍入到小数点后 2 位后为什么会得到整数 1，一眼看上去并不显然。本文讲解二进制小数舍入的一般规则，并解释这些规则的来源。同样的规则也适用于二进制整数的舍入。

IEEE-754 标准定义了五种舍入方法，其中大多数都相当直白。前两种舍入到最接近的值（平局时取偶、平局时远离零）；其余的称为定向舍入：向零舍入、向正无穷舍入和向负无穷舍入。用十进制举例最容易理解这些规则：

定向舍入相当直白。本文将详细考察 「舍入到最接近的值；平局时取偶」 这条规则。它是二进制浮点数的默认模式，也是十进制推荐的默认模式。而且它通常不像定向舍入那样容易理解。

将二进制小数舍入到第 n 位的一般规则是：检查第 n 位之后的那一位数字。如果它是 0，则总是向下舍入。如果它是 1，并且其后还有任何一位也是 1，则向上舍入。但如果其后各位全是 0，就必须启用平局判定规则，而通常采用的是 「平局时取偶」。这条规则要求舍入到第 n 位上为 0 的那个数。

为了看清这些规则如何生效，我们把几个数舍入到小数点后 2 位：

• 0.11001 — 向下舍入为 0.11，因为第 3 位上的数字是 0
• 0.11101 — 向上舍入为 1.00，因为第 3 位上的数字是 1 且其后还有数字 1（第 5 位）
• 0.11100 — 启用「平局时取偶」判定规则并向上舍入，因为第 3 位上的数字是 1 而其后各位全是 0。

如果你和我一样，那么这些规则从何而来，乍看之下恐怕并不清楚。我读过的关于舍入的文章，似乎没有哪一篇借助可视化表示把这些规则讲得足够透彻——而我认为，这恰恰是清晰解释所必需的。

舍入的两个候选值

舍入一个数时，我们必须在两个可能的候选值中选一个：要么向下舍入到比原数小的最接近的数，要么向上舍入到比原数大的最接近的数。这两个数的小数位数都不应多于舍入后的结果。

为了演示如何确定这两个数，我们把十进制数 0.42385 舍入到 2 位。它可以被舍入成哪些数？把它和两位小数一起放到数轴上，就一目了然了：

这张图显示，我们的原数落在 0.42 和 0.43 之间。由于 0.42385 = 0.42 + 0.00385，而较小的数是 0.42，可以得出：要找较小的数，只需把第二位之后的小数部分截断即可。而要找较大的数，可以在已经确定的较小的数上增加一个 ULP，也就是给最后一位的数字加 1。或者换个角度看，这意味着我们应当给较小的数加上 0.01 —— 即 1 乘以 10 的负 2 次方，因为我们舍入到 2 位。如果舍入到 3 位，我们就取 3 位对应的较小的数，再加上 1 乘以 10 的负 3 次方。

我们可以把这条确定舍入候选值的规则一般化：

把一个小数舍入到 n 位时，先丢弃第 n 位之后的小数部分得到较小的数，再用它加上一个 ULP —— 1 乘以进制基数的 n 次方 —— 得到较大的数。

现在来求二进制数 0.11011 的舍入候选值。同样舍入到 2 位。按照十进制小数的同一套做法，较小的数是 0.11，因为 0.11011 = 0.11 + 0.00011。然后加上 0.01 得到较大的数，也就是 1 乘以 2 的负 2 次方——因为我们用的是二进制，基数为 2，且舍入到 2 位。这个计算的结果是 0.11+0.01=1.00。

寻找最短距离

「舍入到最接近的值」 这条规则说，我们应当舍入到与原数差值最小的那个数。在数轴上，这意味着原数与两个候选值之间的距离最小。因此，如果把原数和两个候选值放到数轴上，并把距离标记为 x，我们就需要找出哪个 x 更小：

用减法来做非常简单：

$$x_1 = |0.11 - 0.110110| = 0.000110$$ $$x_2 = |1.00 - 0.110110| = 0.001010$$

这里可以清楚地看到 x1 小于 x2，因此我们应当舍入到 0.11。但如果要舍入的是一个无限二进制小数呢？那样一来，减法就不再是一个简单的操作了。事实证明，还有一种容易得多的办法。

与中点比较

另一种更简便的办法，是判断原数比两个舍入候选值的中点大还是小。来看这张图：

不难得出结论：如果一个数大于中点，它就更接近较大的那个舍入结果，否则就更接近较小的那个。

那么，怎么求这两个候选值之间的中点呢？我们知道 0.11 与 1.00 之间的距离是 0.01。所以只需求出 0.01 的一半，再把它加到较小的数上。一半是 0.001，加到较小的数上得到 0.111 = 0.11 + 0.001。本质上，这等价于直接在较小的数末尾追加一个 1。 下面这张图把相关的数都标在了数轴上：

现在剩下的只有把原数与中点作比较：

$$0.11011 > 0.111 \quad or \quad 0.11011 < 0.111$$

按位做字典序比较可以清楚看出，0.11011 小于中点。所以我们应当向下舍入到 0.11——与用距离计算得到的结果一致。

平局时取偶

有时原数到两个舍入候选值的距离恰好相等，此时 「舍入到最接近的值」 这条规则就无法适用了。假设我们要把 0.11011 舍入到小数点后 4 位。我们知道需要求出两个舍入候选值以及用于比较的中点。先求较小的数：把第 4 位之后剩下的数字截断，得到 0.1101。接着在较小的数末尾追加 1 求出中点，得到 0.11011。最后，给较小的数加上 1 个 ULP 求出较大的数 —— 0.1101+0.0001 = 0.1110。

于是我们得到：

• 原数 —— 0.11011
• 向下舍入的目标 —— 0.1101
• 向上舍入的目标 —— 0.1110
• 两个候选值之间的中点 —— 0.11011。

逐位比较可以看到，原数与中点相等，这说明原数正好落在两个舍入候选值的正中间。这正是需要启用规则第二部分「平局时取偶」的情形。二进制数以 0 结尾即为偶数，因此在我们这两个候选值中，较大的那个才是偶数，规则要求向上舍入到 0.1110。

推导舍入的一般规则

我们真的需要比较所有位上的数字吗？正如你可能已经从文章开头列出的规则中猜到的那样——并不需要。我在上一段已经说明，中点数总是在第 n+1 位上以 1 结尾，其中 n 是舍入到的位数。原数与中点在第 n+1 位之前总是相等——这意味着比较应当从这一位开始。

所以，文章开头给出的舍入一般规则，正是来自把原数与两个舍入候选值的中点作比较。这里再把这些规则重复一遍：

舍入到第 n 位的一般规则是：检查第 n 位之后的那一位数字。如果它是 0，则总是向下舍入。如果它是 1，并且其后还有任何一位也是 1，则向上舍入。但如果其后各位全是 0，就必须启用平局判定规则，而通常采用的是「平局时取偶」。这条规则要求舍入到第 n 位上为 0 的那个数。